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Groupe non-commutatif de cardinal n

Posté par
jojoxxp4
01-11-14 à 11:47

Bonjour,

Quel est le plus petit entier n tel qu'il existe un groupe non-commutatif de cardinal n ?


Merci!

Posté par
polo
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 12:02

Salut,
Le plus petit est S3, le groupe des bijections d'un ensemble à 3 éléments (qui est aussi le groupe D3 des symétries d'un triangle équilatéral). Voir

Posté par
DOMOREA
Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 12:02

bonjour,
je ne sais pas si c'est le plus petit entier n
mais il me semble que GL2(Z2) est non commutatif et comporte 4 éléments

Posté par
milton
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 12:03

bonjour
le groupe de PAULI ;je pense donc à 4

Posté par
polo
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 12:16

A milton : je ne sais pas ce qu'est le groupe de Pauli, mais un groupe à 4 éléments est commutatif (soit isomorphe à /4 soit à /2 x /2).

A domorea : GL2(/2) compte 6 éléments et est isomorphe à S3.

Posté par
milton
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 12:22

bon je retire ce que je viens d'ecrire
un groupe d'ordre 4 est commutatif ,un d'ordre 5 est cyclique car 5 est ptremier donc commutatif de meme qu'un d'ordre 7 donc c'est 6 ton joker

Posté par
jojoxxp4
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 14:54

Comment avez-vous su qu'un groupe d'ordre 4 est commutatif ?

Bon un groupe d'ordre 5 est cyclique car 5 est premier donc commutatif, c'est d'après le théorème de Lagrange car l'ordre d'un élément x de G divise 5 et est supérieur à 1 donc est égale à 5...

Posté par
polo
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 01-11-14 à 15:06

Tout groupe d'ordre p, ou p², avec p un nombre premier, est commutatif. Pour le cas p² c'est plus compliqué que le cas de p que tu viens de faire.

Sinon tu écris toutes les tables possibles d'un groupe d'ordre 4, et tu vois que toutes te donnent une loi commutative. C'est encore le meilleur moyen de s'en persuader.

Encore une autre solution : tu montres que si H est un groupe d'ordre n, tel que x H, x² = 1, alors H est commutatif. Ensuite reviens à ton cas, si il y a un élément d'ordre 4 alors G est cyclique donc commutatif. S'il n'y en a aucun, alors ils sont d'ordre 2 (sauf le neutre) et H vérifie donc les hypothèses de l'exercice précédent.

Posté par
jojoxxp4
re : Groupe non-commutatif de cardinal n 02-11-14 à 15:32

Ahh d'accord!  Mercii



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