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Niveau maths spé
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groupe non monogène

Posté par
laureat
15-09-10 à 21:39

salut!

svp , pourquoi (R,+) est un groupe non monogène?

j'ai pensé au gr(1)={0,1,2,....,k;k appartient à Z} j'ai pas vrement compris pourquoi (R,+)n'est pas monogene

merci de me repondre

Posté par
apovtegme
re : groupe non monogène 15-09-10 à 22:10

Bonsoir,

pour voir ça il y a plusieurs façons (comme toujours ) la première, que je trouve moyenne, est d'utiliser un théorème qui dit que tout groupe monogène infini est isomorphe à (Z,+).

La seconde façon est de voir à la main qu'il n'est pas possible que (R,+) soit monogène :
suppose le contraire, il existe donc un élément, disons a, tel que le groupe engendré par a soit R.
Si le groupe engendré par a est R, alors pour tout réel x, il existe un entier relatif n tel que x=na.

Je propose de regarder deux cas : le cas où a est un rationnel, et le cas où il ne l'est pas. Dans les deux cas on trouve un réel qui ne peut pas être écrit na, ce qui contredit notre supposition

Bon courage

Posté par
lolo271
re : groupe non monogène 16-09-10 à 14:10

Oui perso je préfère la première méthode , si  R+  était monogène il s'écrirait aZ  et serait donc dénombrable ce qu'il n'est pas!



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