salut

si l'ordre de g est infini g peut-il appartenir à <g^2> ?

Bonjour,

Tu as sans doute oublié de nous dire qu'on suppose non réduit à l'élément neutre, et que g est un élément de différent de l'élément neutre.

On te donne une aide très importante : considérer le sous-groupe engendré par . Que peux-tu dire de ce sous-groupe si est différent de l'élément neutre ?

Bonjour merci à tous les deux pour votre aide.
Carpediem je ne comprends pas ta question.
GBZM, <g^2>= G ?

Oui, continue.

Donc si <g> = <g^2> = <g^3>=… =<g^n> = G
On peut dire que G est d'ordre fini ?
Je saisis l'exercice mais j'ai beaucoup de mal à rédiger clairement mes idées…

Oui, ça ne va pas vraiment.

Exploite le fait que . Ça veut dire ...

Comme g appartient à <g^2> et <g>=G
G est d'ordre fini ?

Quelle est la propriété à utiliser ici ?

Je répète ma question : qu'est-ce que ça veut dire concrètement, ? Que veut dire en général ?

Je suis désolée je ne sais pas….
Je dirais que cela signifie g appartient au sous groupe engendré par h, donc g peut s'écrire comme une puissance de h

Eh bien continue en revenant au cas où .

Donc g peut s'écrire comme une puissance de g^2 soit g^2, g^4, g^6….

ou (pas parce qu'on a supposé   différent de l'élément neutre).
Peux-tu donner la forme générale ? Et à partir de là conclure que est d'ordre fini ?

Ok donc on a g = g^2x (formule générale)
Avec x appartient à Z*
On en conclut que g est d'ordre 2x (donc fini) ?

Merci encore pour votre aide !

Oups plutôt g = g^2 implique g^(2x-1)=e
Donc g est d'ordre 2x-1 (fini)

C'est presque ça.
Ce n'est pas parce que que est d'ordre .  Mais ce qu'on peut dire, c'est que son ordre ... .
Remplis les petits points.

Ah oui ! Son ordre n'est pas égal à a, c'est juste qu'il divise a.  Et donc ? On conclut simplement en disant que donc son ordre est fini c'est ça ?

Je te laisse poursuivre.

Ok en tout cas merci pour votre aide !