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Groupe Q(sqrt(2))

Posté par
Dreamyy 07-12-18 à 19:01

Bonsoir, j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire.

Pourriez - vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

On pose : \mathbb{Q}[\sqrt{2}] = (a+b\sqrt{2},(a,b)\in\mathbb{Q}²)\; \; et\; \; \mathbb{Z}[\sqrt{2}] = (a+b\sqrt{2},(a,b)\in\mathbb{Z}²)
On rapelle que 2 est un irrationnel, résultat qui pourra être utilisé sans démonstration.

1. Montrer que \mathbb{Q}[\sqrt{2}] est un sous-corps de R et que \mathbb{Z}[\sqrt{2}] est un sous -anneau de \mathbb{Q}[\sqrt{2}].
FAIT

2. A tout z=a+b\sqrt{2}\in \mathbb{Q}[\sqrt{2}], on associe \bar{z}=a-b\sqrt{2}. Montrer que l'application z -> \bar{z} est un automorphisme de \mathbb{Q}[\sqrt{2}].
FAIT

3. On pose pour z\in\mathbb{Q}\sqrt{2}, N(z) = z\bar{z}.
(a) Montrer que N est multiplicative.
(b) Montrer que z\in\mathbb{Z}\sqrt{2} est inversible si et seulement si N(z) =\pm 1
FAIT

4. A l'aide la question précédente, déterminer un élément inversible de \mathbb{Z}\sqrt{2} est un groupe pour la loi X.
Je bug un peu ici.
Je montre que c'est un sous-groupe de Q( 2). Mais j'y arrive pas ..
- 1 est bien dans \mathbb{Z}\sqrt{2}
- Soit x, y dans \mathbb{Z}\sqrt{2},

x\times y=\frac{a+b\sqrt{2}}{{c+d\sqrt{2}}}
Comment je montre que cela appartient à \mathbb{Z}\sqrt{2}

Le reste je n'ai pas réussi

5. En déduire que U est infini.

7. On pose U_{+} = (a+b\sqrt{2} \in U | a\geq 0,b\geq 0) et U_{+}^{*} = (a+b\sqrt{2} \in U_{+} | b> 0).

(a) Montrer que \forall (a,b) \in \mathbb{Z}², a+b\sqrt{2} \in U^{*}_{+} \Rightarrow b\leq a<2b.

(b) Soit z= a+b\sqrt{2} \in U^{*}_{+}. On pose z'=z(1+\sqrt{2})^{-1} =a'+b'\sqrt{2}. Montrer que :

z' \in U_{+} \; \; et \; \; (0<a'<a \; \; ou\; \; z'=1)

(c) En déduire que UU_{+} = ((1+\sqrt{2})^{n},n\in\mathbb {N})

(d) Déterminer complètement U.




Voilà si vous pouviez m'aider ^^

Merci d'avance

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 19:18

question 4:

Déterminer un élément inversible de Z(2) distinct de 1

C'est fait

Question 5:


Montrer que l'ensemble U des éléments inversibles de Z (2) est un groupe pour la loi X.


Je me suis trompé dans l'énoncé ^^

Posté par
verdurinre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 19:20

Bonsoir,

Citation :
4. A l'aide la question précédente, déterminer un élément inversible de \mathbb{Z}\sqrt{2} est un groupe pour la loi X.

C'est pas très clair.

Si U désigne l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau, U est toujours un groupe multiplicatif.
( Sauf si U est vide, mais il me semble que la définition actuelle d'un anneau comporte la présence d'un élément neutre pour la multiplication. )

Si a et b sont inversibles alors a\cdot b \cdot b^{-1}\cdot a^{-1}=1 donc ab est inversible car la multiplication dans un anneau est associative.

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 19:32

Oui excusez moi j'ai copié 2 lignes en même temps ^^.

Donc
cela justifie le fait que U est un groupe pour la loi X ?


Par contre, le en déduire que U est infini ... euhh
Je n'ai pas vu de théorèmes ou autre pour cela. Que dois-je dire ?

Posté par
Poncarguesre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 19:39

Si a est un inversible de ton anneau, alors a^n aussi...

Posté par
verdurinre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:23

Salut Poncargues.
Ton argument est intéressant mais insuffisant.
Par exemple on pourrait l'appliquer à \Z[i] qui n'a qu'un nombre fini d'inversibles.

Mais on peut voir que, par exemple, 1+\sqrt2 est inversible et que toutes ses puissances sont distinctes.

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:23

Merci beaucoup pour votre aide ^^

auriez vous une piste pour la 7.(a)

comment montrer le  < 2b ?

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:36

verdurin Merci pour ta réponse ^^
Mais donc comment justifier que U est un infini, j'ai cherché depuis avant mais je t'avoue que ... je coince

Posté par
Ramanujanre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:38

Bah c'est le contraire d'un ensemble fini.

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:42

Je pense que ça je l'avais compris ^^'

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:42

Par l'absurde ?

Posté par
verdurinre : Groupe Q(sqrt(2)) 07-12-18 à 21:48

On a 1+\sqrt2>1.
Donc, pour tout n dans N : (1+\sqrt2)^{n+1}>(1+\sqrt2)^{n}

Toutes les puissances positives de 1+\sqrt2>1 sont donc distinctes.

Posté par
Poncarguesre : Groupe Q(sqrt(2)) 08-12-18 à 11:18

Citation :
Ton argument est intéressant mais insuffisant.
Par exemple on pourrait l'appliquer à \Z[i] qui n'a qu'un nombre fini d'inversibles.

Mon argument n'avait pas vocation a être complet, c'était simplement une indication!

Posté par
Dreamyyre : Groupe Q(sqrt(2)) 08-12-18 à 11:40

Merci pour vos réponses à vous tous !
J'ai compris.

Je suis en train d'essayer de faire la 7(à) mais je bloque :
Soit a,b dans Z tels que a+b2 dans U+*.

On a b> 0 et a0

Comment dois-je montrer cette implication ? Auriez-vous une piste ?
Merci ´davance


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