Non  !
G/H  = { g.H │ g  H }
Un élément de G/H est donc g.H = { gh │ h H}  (appelé la classe de g modulo H )

Bonjour,

La définition est fausse à priori, puisque un groupe quotient est un ensemble de classes. On a plutôt

Bonjour,
Il va falloir vous mettre d'accord !

J'ai raison ! Mais j'ai oublié un petit « tel que » dans ma définition d'ensemble..

Bonjour,

Je rejoins Olly. Ce que tu as écrit est une classe à gauche, et une confusion peut se faire entre la notation additive et la notation multiplicative.

G/H = {gH, g G}, ensemble des classes à gauche gH={gh, h H} : G est noté multiplicativement
Z/nZ= {p+nZ, p Z}, ensemble des classes p+nZ={p+nq, q Z} : Z/nZ est un groupe additif commutatif.

Merci pour votre aide j'ai compris !

Appliqué à un autre exemple :

le groupe Q/Z = {qZ ; q Q}

Je veux regarder l'ordre des éléments de Q/Z.
Exemple : l'élément qZ ={q + z ; z Z}

Du coup, je me demande : l'ordre de cet élément qZ, c'est l'ordre d'un ensemble d'éléments : les q + z ; z Z. Du coup, les q + z sont tous de même ordre ? Je pose q = a/b
Donc on peut regarder l'ordre de l'élément q+0 = q = a/b, et ordre (a/b) = b ?

(L'exercice de base, c'était de montrer que (Q/Z, +) est infini et contient des éléments d'ordre finis)

salut

Q/Z n'est pas ce que tu dis puisque tu travailles avec la multiplication or (Z, *) n'est pas un groupe ....

Q/Z = {q + Z / q Q}

ou encore deux éléments q et q' sont dans la même classe qi q - q' est un entier relatif ...

il est alors clair que Q/Z = [0, 1[ Q est infini et que par exemple 1/2 est d'ordre fini

plus généralement 1/n est d'ordre fini ...

Q étant un groupe additif (pas multiplicatif : 0 n'a pas d'inverse), j'écrirais Q/Z={q+Z, q Q}, ensemble des classes modulo Z, et pour q Z, la classe q+Z={q+z, zZ}.

Quel est l'élément neutre de Q/Z ? Appelons H cette classe.

Pour chercher l'ordre d'une classe, soit un élément q+Z, littéralement je ferais : existe-t-il n N, n(q+Z)=H ? Je discuterais en fonction de q.

Pas vu ta réponse carpediem avant de répondre ...

no problemo ...

en plus j'ai probablement fait un erreur ...

Q/Z = ]-1, 1[ Q ...

il faut quand même l'opposé

Je comprends pas quelle partie de mon raisonnement est fausse, j'ai pas utilisé la multiplication ?

J'essaye de comprendre vos réponses !

Pardon j'ai dis n'imp!
Ici H = 0, le neutre pour l'addition.

On cherche donc le plus petit n tel que
n(q+Z) = 0

Bonjour

carpediem @ 28-01-2019 à 14:53


en plus j'ai probablement fait un erreur ...Q/Z = ]-1, 1[ Q ... non, ça c'est une erreur

Ce n'est pas ça. Le neutre de G/H de manière générale ? On cherche une classe.

C'est tout les éléments qui appartiennent à H c'est ça ?

C'est la classe H elle-même. aH.H=aH.

Q/Z={q+Z, q [0,1[Q}.

Et donc son élément neutre c'est H tel que

q+ Z + H = q + Z
J'ai du mal à comprendre comment à partir de ça on conclu que H est la classe de Z. Ni même ce qu'est la classe de Z. Désolé pour mes lacunes

En tout cas, si on considère que le neutre, c'est Z, il faut trouver n tel que
n(a/b + Z) = Z
Donc suffit de prendre n = b pour ordre ?

Laisse tomber cette vision des éléments du quotient comme des classes. Ca ne sert véritablement a rien.
Utilise simplement que tu as une projection p:Q->Q/Z surjective, qui soit une morphisme et de noyau Z.

C'est ça, il faut que n(a/b + Z)=Z, donc nq + nZ=Z.

Pour que la classe soit d'ordre fini, il faut avoir tous les éléments de Z à gauche de l'égalité, cela ne laisse pas beaucoup de possibilités, en commençant par distinguer q= ou 0.

Poncargues, comment ferais-tu avec le morphisme ?

On prend un élément du quotient, il s'ecrit p(a/b) pour deux certains entiers a et b. On a bp(a/b)=p(b.a/b)=p(a)=0. Donc tout élément est d'ordre fini.

Bien sur tu px sous entendre la fleche p en la notant par une barre voire en ne la notant meme pas, ce qui est le cas le plus courant.

Mais ce qui compte c'est que tu as une fleche (j'utilise ce mot comme synonyme de morphisme) G->G/H. Surjective, de noyau H (H ici est un ss groupe distingué de G).

Le but de la construction de G/H comme classes a gauche sous H ne sert qu'a prouver ce que je viens de dire. Ensuite on peut littéralement oublier cette construction.

Bonsoir Poncargues,

Ben moi avec les classes, je trouve qu'il n'y a que Z élément de Q/Z qui est d'ordre fini, toutes les autres classes sont d'ordre infini.

Pour être d'ordre fini, une classe q+Z doit vérifier n(q+Z)=Z, soit nq+nZ=Z pour un certain entier n. Il faut donc que nq Z, puis que nZ=Z-nq=Z, soit n=1 et q=1/n=1. Il n'y a donc que Z qui est d'ordre fini.

Par exemple, 1/2 + Z ne l'est pas, parce qu'il faut n(1/2+Z)=Z, soit n=2 (ou un multiple) => 1+2Z=Z, faux.

Où est l'erreur ? Je n'ai pas compris ta démonstration, parce que tu te situes dans un groupe multiplicatif, et on est dans un groupe additif.

@coa347 : tu as donc tout élément est d'ordre le dénominateur de sa fraction irréductible.

jsvdb Mais la classe de a/b, c'est a/b+Z (et non pas (a/b)Z). Donc b(a/b+Z)=a+bZa+Z ?

Ton erreur est dans le fait que par définition de l'addition des classes tu n'as pas n(q+Z)=nq+nZ mais n(q+Z)=nq+Z... Cela vient de la façon dont l'addition des classes est définie. Je le répète personne ne pense à un quotient comme un ensemble de classes. De la même manière personne ne pense à un réel comme à une coupure de rationnels, meme si on est obligé de passer par là (ou par un autre chemin équivalent) pour construire les réels.
Pense-y de la manière dont je te l'ai présenté plus haut. Le quotient G/H c'est le groupe G dans lequel on a rajouté la règle h=0 pour tout élément de H.
Et plus formellement c'est ce que je disais plus haut, tu as une fleche surjective p de G dans G/H de noyau exactement H.

Et je travaille bien dans dans le groupe additif Q/Z, dans n'importe quel groupe tu peux "multiplier" un élément par un entier, si n est positif n.a est simplement a+a+...+a, fois et si n est négatif n.a est (-a)+...+(-a), -n fois.

Bah oui, on est bien d'accord, mais l'addition dans c'est défini par donc :

Ca y est, j'ai compris mon erreur entretemps : 1/2 + Z + 1/2 + Z, cela fait  1+Z=Z, car Z+Z=Z (et non pas 2Z). Je vais lire vos messages. Merci !

Poncargues "Le quotient G/H c'est le groupe G dans lequel on a rajouté la règle h=0 pour tout élément de H. "
Je crois comprendre ton raisonnement. Tu ne te situes pas dans l'ensemble des classes, mais uniquement dans les rationnels compris entre 0 et 1, [0,1[Q, soit les représentants des classes, les autres éléments des classes sont comme "écrasés", ont disparus ?

Du coup, cela devient un peu plus évident en effet : par quoi faut-il multiplier a/b fraction irréductible pour obtenir un entier, soit la classe de 0 ? Ben par b. J'avoue que j'ai du mal.

Les éléments nuls (ou neutres) sont les éléments de H, les autres ne sont que des a+H (ou aH), soit des a (qu'il s'agit de bien choisir au besoin). On peut raisonner seulement sur les a. Je crois que j'ai compris, merci.

je suis ni pour ni contre ... bien au contraire ...

on peut identifier Q/Z avec pour tout n

et suivant ce qu'on fera on prendra aussi bien n = -10235 que n = +356  ⁽¹⁾

mais aussi le plus simple pour "voir" l'addition mais surtout l'opposé c'est de choisir n = 0

et alors l'opposé de a/b est (b - a)/b  (avec 0 =< a < b)

l'important c'est de voir que l'élément r de Q/Z est l'ensemble r + Z de Q

et donc   ⁽²⁾

ce qui signifie comme le dit Poncargues que Z = 0 ou encore toute entier n de Z vaut 0 dans Q/Z (c'est "sa flèche")


(1) : un exemple classique au lycée est le calcul d'angle orienté où pour additionner des angles orientés on choisira tel représentant plutôt que tel autre ...

(2) : en terme de langage des congruences on dira que rles rationnels r et r' sont congrus (modulo Z) <=> ils ont même partie fractionnaire <=> r - E(r) = r' - E(r')
où E est la partie entière ...

Bonjour Poncargues et carpediem,

Poncargues Je pense que chacun a sa manière de voir les choses, il n'y a pas de meilleure ou de moins bonne idée. Désolée, mais pour ma part, la "flèche" ne me parle pas.

Pour ma part, je le vois comme un écrasement, on ne voit que celui qui est devant, l'arbre qui cache la forêt, on ne voit que l'arbre, on se moque de la forêt derrière.

D'autres le verront différemment.

Pour Q/Z, on ne voit que la partie fractionnaire (merci carpediem) du rationnel, on se moque de sa partie entière, qui vaut 0, soit Z=0.

Il y a des représentants plus immédiats que d'autres : la partie fractionnaire comprise entre 0 et 1, c'est mieux que la partie fractionnaire +1 ou -10 (en effet pour l'opposé), la mesure principale de l'angle, c'est mieux qu'une mesure quelconque (on le voit mieux sur le cercle), la classe modulo n : le reste de la division euclidienne est plus immédiat et a une vraie signification, ... .

Pour les jours de la semaine par contre, on n'a pas pris un représentant pour le mettre en exergue.

Pour les calculs (parce que c'est aussi le but), il faut avoir présent à l'esprit de remettre à 0 ... les 0 (si je puis dire), soit les éléments de la classe neutre. D'où mon erreur, nZ ça fait Z, soit 0.
Bizarre de tomber sur une notation qui induit en erreur.