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groupe symetrique

Posté par citron orbital (invité) 30-06-05 à 16:17

bonjour (et merci a otto et elhor de m'avoir si gentiement repondu la derniere fois)

notations :
    * $S_n$ : groupe des permutations de $\{1,2,\ldots,n\}=[n]$
    * pour $\sigma\in S_n$ et pour $i\in[n]$ ,
         $O_\sigma(i)=\{\sigma^r(i),r\in\mathbb{Z}\}$ : $\sigma$ -orbite de $i$

exercice :
en remarquant que $O_\sigma(i)$ est une classe d'equivalence definie sur $[n]$ , trouver une relation entre $n$ et les cardinaux des $O_\sigma(i)$



j'ai commence par ecrire :
$O_\sigma(i)=\{j\in[n]:\exists r\in\mathbb{Z},\sigma^r(i)=j\}$
j'ai considere alors la relation $\equiv$ sur $[n]$ definie par:
$i\equiv j$ ssi $\exists r\in\mathbb{Z}\;:\;\sigma^r(i)=j$
$\equiv$ est une relation d'equivalence :
     $i\equiv i$ : je n'arrive pas trop à l'ecrire, mais voici ce que je pense : si $\sigma(i)=i$ , c'est termine
sinon, on essaie de voir si $\sigma^2(i)=i$ etc.
on devra s'arreter puisque $[n]$ est fini
     $i\equiv j\Rightarrow j\equiv i$ : $\sigma^r(i)=j\Rightarrow i=\sigma^{-r}(j)$
    transitivité : si $i\equiv j$ et $j\equiv k$ alors il existe $r,r'\in\mathbb{Z}$ tels que :
$j=\sigma^r(i)$ et $k=\sigma^{r'}(j)$ . on a alors :
$k=\sigma^{r'+r}(i)$

on a alors :
${\rm cl}(i)=\{j\in[n]:j\equiv i\}=\{j\in[n]:\exists r\in\mathbb{Z},\sigma^r(i)=j\}=O_\sigma(i)$
comme les classes $O_\sigma(k)$ forment une partition de $[n]$ alors $\displaystyle n=\sum_{k=1}^m{\rm Card}O_\sigma(i_k)$
ou les $i_1,\cdots,i_m$ sont des representants des $\sigma$ -orbites dans $[n]$

merci de m'aider et corriger

Posté par taorendestiny (invité)re: groupe symétrique 30-06-05 à 16:56

La relation d'équivalence est la bonne. Pour vérifier que c'est bien une relation d'équivalence, c'est facile :
-réflexivité : i est équivalent à i, prendre r=0 puisque ⁰ = identité.
-transitivité : si j = ^r(i) et k=^s(j), alors k = ^r+s(i), donc k et i sont équivalents.
-symétrie : si j=^r(i), alors évidemment :
i=^-r(j).

Après la relation entre n et les cardinaux des orbites est correcte.

Posté par citron orbital (invité)re : groupe symetrique 30-06-05 à 17:01

merci bien taorendestiny !

je suis vraiment bete de ne pas avoir vu que $\sigma^0={\rm Id}$

merci encore

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