Niveau autre

groupe symetrique

Posté par citron orbital (invité) 30-06-05 à 16:17

bonjour (et merci a otto et elhor de m'avoir si gentiement repondu la derniere fois)

notations :
    * $S_n$ : groupe des permutations de $\{1,2,\ldots,n\}=[n]$
    * pour $\sigma\in S_n$ et pour $i\in[n]$ ,
         $O_\sigma(i)=\{\sigma^r(i),r\in\mathbb{Z}\}$ : $\sigma$ -orbite de $i$

exercice :
en remarquant que $O_\sigma(i)$ est une classe d'equivalence definie sur $[n]$ , trouver une relation entre $n$ et les cardinaux des $O_\sigma(i)$



j'ai commence par ecrire :
$O_\sigma(i)=\{j\in[n]:\exists r\in\mathbb{Z},\sigma^r(i)=j\}$
j'ai considere alors la relation $\equiv$ sur $[n]$ definie par:
$i\equiv j$ ssi $\exists r\in\mathbb{Z}\;:\;\sigma^r(i)=j$
$\equiv$ est une relation d'equivalence :
     $i\equiv i$ : je n'arrive pas trop à l'ecrire, mais voici ce que je pense : si $\sigma(i)=i$ , c'est termine
sinon, on essaie de voir si $\sigma^2(i)=i$ etc.
on devra s'arreter puisque $[n]$ est fini
     $i\equiv j\Rightarrow j\equiv i$ : $\sigma^r(i)=j\Rightarrow i=\sigma^{-r}(j)$
    transitivité : si $i\equiv j$ et $j\equiv k$ alors il existe $r,r'\in\mathbb{Z}$ tels que :
$j=\sigma^r(i)$ et $k=\sigma^{r'}(j)$ . on a alors :
$k=\sigma^{r'+r}(i)$

on a alors :
${\rm cl}(i)=\{j\in[n]:j\equiv i\}=\{j\in[n]:\exists r\in\mathbb{Z},\sigma^r(i)=j\}=O_\sigma(i)$
comme les classes $O_\sigma(k)$ forment une partition de $[n]$ alors $\displaystyle n=\sum_{k=1}^m{\rm Card}O_\sigma(i_k)$
ou les $i_1,\cdots,i_m$ sont des representants des $\sigma$ -orbites dans $[n]$

merci de m'aider et corriger

Posté par taorendestiny (invité)re: groupe symétrique 30-06-05 à 16:56

La relation d'équivalence est la bonne. Pour vérifier que c'est bien une relation d'équivalence, c'est facile :
-réflexivité : i est équivalent à i, prendre r=0 puisque ⁰ = identité.
-transitivité : si j = ^r(i) et k=^s(j), alors k = ^r+s(i), donc k et i sont équivalents.
-symétrie : si j=^r(i), alors évidemment :
i=^-r(j).

Après la relation entre n et les cardinaux des orbites est correcte.

Posté par citron orbital (invité)re : groupe symetrique 30-06-05 à 17:01

merci bien taorendestiny !

je suis vraiment bete de ne pas avoir vu que $\sigma^0={\rm Id}$

merci encore

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

37 visiteurs

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

groupe symetrique

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths