En principe, pour la une oui, puisque tout groupe est commutatif sur *.
Enfin, je suis pas trop sûr.


Ayoub.

Merci mais quelqu'un pourrait il m'en dire un peu plus svp ?

1 Schumi 1, je ne crois pas.
Tout groupe n'est pas commutatif.
Il n'est commutatif que s'il est... commutatif !
Ce qui n'est pas précisé dans l'énoncé.

Néanmoins, la propriété me semble vraie, même en groupe non commutatif.
Je crois que , car, en fait, est l'inverse de .






Mes souvenirs d'algèbre sont lointains. J'espère ne pas avoir dit de bêtises.

Nicolas

L'application x |-> x² est elle un morphisme ?

Je pense que non, en général.
f(xy)=xyxy
f(x)f(y)=xxyy

f est un morphisme
<=> pour tout x,y xyxy=xxyy
(on multiplie par x' à gauche et y' à droite : )
<=> pour tout x,y yx=xy
<=> le groupe est commutatif

L'application x |->x^-1 est elle un automorphisme ?

Cette application est une bijection (existence et unicité de l'inverse).
Est-elle un morphisme ?

f(x*y)=(x*y)^-1
f(x)f(y)=x^-1*y^-1

f morphisme
<=> pour tout x,y (x*y)^-1=x^-1*y^-1
<=> pour tout x,y x*y*x^-1*y^-1=e
<=> pour tout x,y x*y*x^-1=y
<=> pour tout x,y x*y=y*x
<=> le groupe est commutatif

Une autre preuve de implique

Si i.e
alors, en multipliant par à gauche et à droite, on obtient

soit cqfd

La réponse de Nicolas étant parfaitement juste par définition de l'inverse d'un élément dans un groupe.

Bon courage pour la suite.

ok merci bcp pour le premier exo ca va j'ai bien pigé, mais pour le reste je connais bien mn cours sur les permutations etc mais j'avoue ne pas voir la faille... quelqun l'a peut etre ?

merci

je relance encore un coup parce que jen'avance pas plus...
alors svp personne ne voit comment partir???

je viens de reussir le troisieme donc ca va deja mieux, mais le second cest toujours galere et surtout je sais meme pas ce qu'est une permutation d'ordre 60...

Exo 2 : le plus petit entier n tel que est en fait ppcm(2,3,4,5)=60 en effet, tout élément s'écrit comme produit de cycles disjoints (thm) or, les cylces de sont l'id (d'ordre 1), les transpositions (d'ordre 2), les 3-cycles (d'ordre 3), les 4-cycles (d'ordre 4), les 5-cycles (d'ordre 5)
D'autre part, l'ordre d'une permutation décomposée en produit de cycle disjoints est égal au pgcd des ordres de chaque facteur... d'où la solution.

Note : l'ordre d'un élément g d'un groupe G est par définition le plus petit entier n tel que g^n=e
e étant le neutre du groupe G noté multiplicativement.

Voilà pour la première partie, concernant la seconde, j'y réfléchis ...

Erratum : il fallait lire

l'ordre d'une permutation décomposée en produit de cycle disjoints est égal au ppcm des ordres de chaque facteur... d'où la solution.

J'ai peut être la solution pour la deuxième partie... (en cas d'erreur, dites le moi !)

mais étant donné que tu commences seulement à étudier les groupes, je crains que tu décroches, mais si ton ouvrage est complet, tu devrais retrouver les résultats que j'utilise :

si (et non comme je l'avais écrit dans mon avant dernier post !) possédait un élément d'ordre 60, alors, il existerait un sous-groupe d'ordre 60 engendré par cet élément (et donc ce sous-groupe cyclique serait commutatif). Or, comme ce sous-groupe est d'indice 2 dans , il est distingué et c'est donc (théorème) or est loin d'être abélien (commutatif). Absurde.