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Niveau Licence Maths 1e ann
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Groupes

Posté par
inespaiva
24-09-23 à 12:39

Bonjour, j'essaye de faire cet exercice ceci, pourtant je ne sais pas comment le prouvé, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider? Je sais ce que c'est un sous-groupe et aussi un sous-groupe normal, je crois que j'ai seulement du mal à appliquer tout cela pour trouver les solutions. Je vous remercie en avance.
Voici l'énoncé:

Soient G un groupe et H ⊆ G un sous-groupe.
Démontrer :
(a) Si N ⊆ G est un sous-groupe normal et N ⊆ H, alors N est aussi un sous-groupe normal dans H.
(b) Si l'indice de H dans G est 2, alors H est un sous-groupe normal dans G.

Posté par
carpediem
re : Groupes 24-09-23 à 12:46

salut

que signifie :

N est un sous-groupe normal de G ?
N est un sous-groupe normal de H ?
un élément de H est-il un élément de G ?
un élément de G est-il un élément de H ?

conclusion ?

Posté par
inespaiva
re : Groupes 24-09-23 à 14:35

N sous-groupe de G signifie que l'élément neutre de G appartient à N, que pour tout a qui appartient à N, son inverse appartient aussi à N et finalement que pour tout a, b qui appartiennent à N, a*b appartient aussi à N.
De même pour N qui est un sous-ensemble de H
Comme H est un sous-groupe de G, un élément de H est un élément de G, mais je pense que un élément de G n'est pas forcement un élément de H

Posté par
carpediem
re : Groupes 24-09-23 à 14:41

ce n'est évidemment pas la propriété "sous-groupe" mais "normale" que je demande !!!

Posté par
inespaiva
re : Groupes 24-09-23 à 14:47

N sous-groupe normal de G signifie que pour tout g qui appartient à G et pour tout n qui appartient à N, g-1ng appartient à N

Posté par
carpediem
re : Groupes 24-09-23 à 18:29

ok !

et ce qui est vrai avec un élément de G n'est-il pas vrai avec un élément de H ?

PS et il faut écrire correctement si tu n'utilises pas la notation des exposants : g^(-1) n g  ...

Posté par
inespaiva
re : Groupes 24-09-23 à 18:50

oui, ce qui est vrai pour un élément de G est aussi vrai pour un élément de H

Posté par
carpediem
re : Groupes 24-09-23 à 18:56

conclusion ?

Posté par
inespaiva
re : Groupes 24-09-23 à 19:46

oui alors N est aussi un sous-groupe normal de H



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