Ce sujet n'attend pas de réponse autre qu'une liste d'erreurs, omissions ou corrections. Éventuellement des démonstrations plus simples.
Il répond à plusieurs demandes qui apparaissent de manière récurrente et j'ai supposé qu'un traitement à part permettant de répondre par un lien pourrait être utile.
Si un administrateur ne le supporte pas il peut le déplacer ou le supprimer.
Soit un sous-groupe de . On a l'équivalence des propositions :
1) est dense dans
2) a au moins un point d'accumulation
3) est point d'accumulation de
1)2) : évident
2)3) : Soit et un point d'accumulation.
Il existe tel que et il en résulte , donc point d'accumulation
3)1) : Soit . Il existe tel que ou .
Comme équivaut à on peut supposer .
Si on a .
Comme on a bien .
Soit sous-groupe de . Alors est dense dans ou il existe tel que .
Supposons que n'est pas dense, donc n'a aucun point d'accumulation.
Si le choix convient.
Sinon, est non vide (si on a aussi ), soit . Puisque n'est pas point d'accumulation on a .
Soit . Alors avec . Puisque on a et il faut donc .
Soit des réels non nuls et .
C'est évidemment un sous groupe de . On se propose d'établir : dense dans si et seulement si .
Supposons , par exemple avec entiers premiers entre eux.
Par relation de Bachet, il existe des entiers tels que .
Pour il vient soit donc .
Par ailleurs, si on a aussi .
Inversement, si puisque on a , de même et il en résulte .
Une application : l'ensemble est dense dans .
Soit un intervalle de et ( si , sinon). est un
intervalle de d'intérieur non vide.
S'il existe des entiers strictement positifs avec on a la contradiction (2 devrait diviser 3).
Par conséquent est dense dans et il existe avec d'où .
Soit des réels de rapport irrationnel. Alors est dense dans
Soit et ensemble non vide puisque dense dans .
On suppose majoré donc admettant un plus grand élément. Soit et on note un entier tel que .
Soit et . Il existe tel que . Puisque on a et on peut supposer (sinon on
prend ). Alors, de sorte que et : contradiction.
On en déduit qu'il existe une infinité de couples tels que : en particulier est dense dans
Application aux suites .
Soit . Pour la suite est constante, égale à 1 et on suppose désormais et on montre :
4) Si la suite est périodique avec un nombre fini (supérieur à 2) de valeurs d'adhérence.
Supposons fraction irréductible. Alors et si . De plus les termes sont distincts si (donc la suite prend périodiquement valeurs distinctes); les termes distincts si (la suite prend valeurs distinctes).
5) Si , tout point de est valeur d'adhérence.
En effet, soit . On a vu qu'il y a une infinité de tels que . Alors
car est 1-lipschitzienne.
On en déduit : si tout réel de est valeur d'adhérence des suites .
Déjà !
Dans le deuxième paragraphe : l'ensemble est évidemment .
et çà va de soi.
Dans le 5) oubli d'une valeur absolue :
... A vous de continuer la liste...
bonjour
pour ce genre de topic, il y a les fiches [lien] : si aucune fiche sur les sous-groupes additifs de IR n'y figure, rien ne t'interdit d'en proposer une.
Bonsoir et merci pour ton indication mais je n'ai pas vu le moyen de créer une fiche ni où la propos. Réservé à certains membres ?
bonjour,
tu vas sur la page de ton profil et en haut à gauche, tu as "contribuer"
et là tu peux proposer des fiches
précision, j'ai sauté une page...
sur la page de ton profil, en haut à droite "mes contributions" / contribuer
et à la page suivante "contribuer" est effectivement en haut à gauche
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