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Groupes isomorphes à un groupe d'ordre 4
Bonjour,
je voudrais montrer que tout groupe d'ordre 4 est isomorphe à
R4 = {1,-1,-i,i} ou à R2XR2 = {(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)} (on note Rp l'ensemble ds racines p-ièmes de l'unité).
J'ai déjà montré que R4 et R2XR2 ne sont pas isomorphes car R4 est cyclique alors que R2XR2 ne l'est pas.
Ensuite, si on prend un groupe d'ordre 4 cyclique alors il est isomorphe à R4 (je sais le montrer 
).
En revanche je n'arrive pas à montrer que si on prend un groupe d'ordre 4 non cyclique alors il est isomorphe à R2XR2 
.
Merci de votre aide
Bonjour,
J'appelle G un groupe à 4 éléments, G={e,a,b,c} avec e le neutre.
Plutôt que de raisonner sur le critère cyclique, on peut le faire directement sur l'ordre des éléments de G (ca revient au même mais il est plus naturel de s'attaquer à l'ordre des éléments de G que de savoir s'il est cyclique).
En premier lieu, tu peux montrer qu'un élément de G est soit d'ordre 2 ou soit d'ordre 4.
¤ Si tu as un élément d'ordre 4, déduis-en que G est cyclique. Avec ce que tu as déjà fait, tu sais qu'il est isomorphe à R4.
¤ Sinon, déduis-en que tous les éléments sont d'ordres 2 (sauf le neutre) et par conséquent que G est commutatif. L'isomorphisme de groupe avec R2xR2 apparait alors naturellement.
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