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Niveau Licence Maths 1e ann
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Groupes symétriques

Posté par
fplanina
22-04-24 à 15:32


Bonjour à tous,

je suis actuellement dans le chapitre des groupes symétriques

Je suis sur la DECOMPOSITION DE PRODUIT DE TRANSPOSTION et je voulais me renseigner sur certaines techniques :

bon je prends un exemple :

je pars de σ1 = (1 3 5)(5 4 3 2)(5 6 7 8) et je souhaite le décomposer


bon les cycles disjoints sont donc (1 3 2)(4 5 6 7 8)

après c'est les différentes techniques de décompositions qui m'interpellent, j'en ai 3 différentes, 2 comprises et une non-élucidée...

1ère technique :

Je prends le premier cycle disjoint (1 3 2) et je « distribue à l'envers  en partant du premier» donc (1 2)(1 3)
et l'autre donne (4 8)(4,7)(4,6)(4,5)

Le prof (Gilles Bailly Maitre) insiste bien sur cet ordre là.

Au final = (1 2)(1 3)(4 8)(4,7)(4,6)(4,5)

Bon celle-là est limpide

2ème technique vue :

Résultat : (3 5)(5 1)(2 3)(4 2)(2 5)(7 8)(6 8)(5 8)

Alors le résultat est bon, mais comment réalise-t-on cette technique, du moins comment l'explique-t-on ?

3e technique vue :

Cf. Site BibMaths

(a1 a2 … ap)=(a1 a2)∘(a2 a3)∘⋯∘(ap−1 ap)

Donc j'applique (1 3)(3 2)(4 5)(5 6)(6 7)(7 8)

Ce qui marche aussi...Pourtant on ne « distribue pas  à l'envers en partant du premier" ici...

Je sais bien que la décomposition n'est pas unique.  Mais quelle est donc cette 2e technique ? Et comment expliquer que d'un côté, on me dit "faut distribuer à l'envers en partant du premier" en faisant attention à l'ordre et de l'autre,  la technique est beaucoup plus simple ?

Merci d'avance pour vos réponses Belle journée les collègues

Posté par
Camélia Correcteur
re : Groupes symétriques 22-04-24 à 15:56

Bonjour

Je pense que tu te poses un problème pas très intéressant.
La décomposition en cycles disjoints est unique à l'ordre près et fournit plein de renseignements sur la permutation.
J'avoue ne pas voir l'intérêt des décompositions en transpositions, sauf cas particulier.

Posté par
fplanina
re : Groupes symétriques 22-04-24 à 16:56

D'accord si ce n'est pas utile, passons notre chemin . J'ai au moins 2 techniques sous la main. Merci à vous.

Posté par
carpediem
re : Groupes symétriques 22-04-24 à 18:31

salut

pour compléter la réponse de Camélia que je salue

l'intérêt de la décomposition en transpositions permet éventuellement deux choses :

justifier que les transpositions engendrent le groupe symétrique
introduire et justifier "simplement"  la signature d'une permutation

Posté par
Ulmiere
re : Groupes symétriques 23-04-24 à 00:48

Ça a aussi un intérêt pour transformer certains algos naifs  de complexité factorielle et bêtes de course

Posté par
robby3
re : Groupes symétriques 23-04-24 à 11:44

Bonjour à tous,

Je lis les posts et je me demandais si Ulmière, tu avais un exemple d'algo naif de complexité factorielle qui se transforme en bête de course grâce à ces décompositions en transpositions ?

Posté par
fplanina
re : Groupes symétriques 23-04-24 à 12:47

oui ça sert à rien on a compris pas besoin de faire des petits sous-entendus ironiques derrière un écran c'est pathétique

Posté par
carpediem
re : Groupes symétriques 23-04-24 à 14:59

quelle étrange intervention

on complète la réponses de Camélia pour dire que ça peut avoir un intérêt (plus ou moins grand) dans certains cas particuliers sans aucun sous-entendu ironique ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Groupes symétriques 23-04-24 à 15:32

Bonjour à tous.

Dans mon premier post j'ai bien précisé "sauf cas particulier" parce que j'étais sûre que ça inciterait des iliens à donner des exemples (que je n'avais pas trop envie de chercher)! Donc merci à eux.



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