Bonjour et bienvenue sur l'

Tu n'es pas loin... (et ce n'est jamais stupide de poser des questions).

Si il a des éléments non nuls. Comme c'est un sous-groupe, s'il contient un élément il contient aussi son opposé, donc il contient des éléments strictement positifs. Soit n le plus petit élément strictement positif de H. démontre que H=nZ (il y a un sens évident, et pense à la division euclidienne pour la réciproque)

Bonjour darnaud

Tout d'abord, bienvenue sur l'île des mathématiques !

En ce qui concerne ton problème, je te rassure, ce n'est pas trivial mais la démonstration repose principalement sur trois points :

1) la structure de groupe
2) Les propriétés de
3) la division euclidienne

grillé !
Bonjour Camélia

Salut kaiser

Bonjour Camelia, bonjour Kaiser,

Merci beaucoup d'avoir répondu aussi rapidement,
Alors j'ai lu vos réponses avec attention et ai recherché de mon côté des éléments de réponses, je pense y être presque et avoir "mis le doigt" sur mon incompréhension (c'est idiot, mais le fait d'avoir reformuler ma question m'y a fait réfléchir autrement...)

Je pense que ma grosse erreur est d'avoir pensé "ensemble" alors qu'il s'agit de sous-groupe, après avoir posé ma question, j'ai voulu raisonner sur un exemple idiot mais qui m'a permis de voir où se trouvait mon problème:

je me suis dit soit H={3,4,6,9}, tous multiples de 3 sauf 4
et c'est là que j'ai compris (je sais, c'est idiot...) que puisque H est un sous-groupe, alors 3+4 doit appartenir à H, et donc H={3,4,6,7,9}. En faisant de même avec tous les éléments de H je me suis rendu compte que ma première compréhension du théorème ne tenait pas compte de la loi de composition interne, donc de la structure de groupe de H. en gros je pensais "ensemble" et pas "groupe".

Alors Kaiser, je reprends les étapes:

Etape 1:
On considère G=H^* et on pose n=min G (pourquoi cet entier existe ?)

Si on considère H{0}, alors x non nul H,
puisque H est un sous-groupe, alors -x H également.

Ce qui fait que G=H^* n'est pas vide (il contient au moins x ou -x selon le signe de x).

Pourquoi prendre le minimum de cet ensemble? là j'avoue que je ne sais pas... pour la démonstration??.. (réponse idiote).

Etape 2:
On montre que H=n
Pour cela on procède par double inclusion. L'une est évidente (il faut utiliser la structure de groupe de H) et l'autre doit être montrer en faisant la division euclidienne d'un élément quelconque de H par n et montrer qu'il est nécessairement un multiple de n.

Oui, pour montrer que 2 ensembles sont identiques, on montre la double inclusion.

Pour montrer que nH:
On sait que nH, donc n
et, de part la structure de groupe que confère la loi +, n+n=2n H et donc à . Et par récurrence (est-ce correct d'utiliser une récurrence pour cela?) nH.

Pour montrer que Hn:
A priori il faut partir de la division Euclidienne, mais pour le moment je ne vois pas.

Suis-je sur la voie?


Merci beaucoup à tous les deux pour votre aide précieuse.

Etape 1 :

Pour la question que tu te poses, si avec n un entier naturel, on voit tout de suite que tout élément m non nul de H est en valeur absolue inférieur à n (de toute manière, il fallait trouver un moyen "simple" de le caractériser).

Etape 2 : je ne comprends ce que tu essaie de montrer par récurrence. Plus précisément, il faut dire quelle est ton hypothèse de récurrence mais tu peux t'en passer. Pour cette inclusion, tu peux dire que comme H est un groupe et que n appartient à H, alors le sous-groupe engendré par n est inclus dans H (et ce sous-groupe est justement )

Pour l'autre inclusion, on n'a pas le choix, on prend un élément non nul m de H et on veut montrer qu'il est dans . Pour cela, commence par écrire la division euclidienne de m par n (il existe blabla...)

Kaiser

Alors:

Etape 1 :

Pour la question que tu te poses, si H=n avec n un entier naturel, on voit tout de suite que tout élément m non nul de H est en valeur absolue inférieur à n (de toute manière, il fallait trouver un moyen "simple" de le caractériser).

Je pensais qu'à cette étape de la démonstration on montrait dans un premier temps qu'il existait n H^*? ce qui ne présuppose pas que H=n.

Je ne comprends pas non plus pourquoi, pour tout élément m non nul de H on aurait |m|<n puisque qu'on  considère n comme le minimum de H^*, donc à priori |m|>=n ???... quelque chose m'échappe.

Etape 2 : je ne comprends ce que tu essaie de montrer par récurrence. Plus précisément, il faut dire quelle est ton hypothèse de récurrence mais tu peux t'en passer. Pour cette inclusion, tu peux dire que comme H est un groupe et que n appartient à H, alors le sous-groupe engendré par n est inclus dans H (et ce sous-groupe est justement H=n)


C'est vrai, je me suis sans doute compliqué la vie, mais en cours j'ai appris que si G est un groupe additif, on défini les multiples de x par:
k ,
  kx = 0, si k=0
  kx = x+x+x+...+x, k fois si k>0
  kx = (-x)+(-x)+(-x)+...+(-x), -k fois si k<0

Je n'ai pas eu d'autres explications, j'ai pensé que cela était dû à la structure de groupe de G (c'est à dire x+x=2x G, 2x+x=3x G,...) et par le principe de récurrence que l'on définissait ainsi le multiple de x, mais je suis peut-être dans l'erreur...

Pour l'autre inclusion, on n'a pas le choix, on prend un élément non nul m de H et on veut montrer qu'il est dans \Large{H=n\mathbb{Z}}. Pour cela, commence par écrire la division euclidienne de m par n (il existe blabla...)

Je vais y travailler et voir ce que cela donne.

En fait mon poly de cours est très succint et je dois souvent faire face à des incompréhensions pour lesquelles je n'ai pas de ressources. Je fais malheureusement parti de ceux et celles qui ont besoin de comprendre pour avancer, c'est assez frustrant parfois.

- Puis-je continuer à écrire demain la suite de mon développement ou bien y a t'il une forme de limitation des interventions afin de ne pas "trop polluer" le forum?

- Lorsqu'un problème est résolu, faut-il l'indiquer comme dans certains forums?

Dans tous les cas, merci à toutes celles et tous ceux qui m'ont apporté leur aide, c'est réellement appréciable lorsqu'on est un peu perdu, tout seul dans son coin.

Etape 1

Citation :
Je pensais qu'à cette étape de la démonstration on montrait dans un premier temps qu'il existait n H *?

Citation :
Je ne comprends pas non plus pourquoi, pour tout élément m non nul de H on aurait |m| *, donc à priori |m|>=n ???... quelque chose m'échappe.

[lien]

Citation :
Dans tous les cas, merci à toutes celles et tous ceux qui m'ont apporté leur aide, c'est réellement appréciable lorsqu'on est un peu perdu, tout seul dans son coin.

Bonjour,

Me revoilà avec le dernier point de la démonstration utilisant la division Euclidienne.

Je dois avouer qu'il y a quelques imprécisions dans ta démonstration parce que effectivement, r doit valoir 0 mais tu ne l'expliques pas assez clairement. En fait, tu as en mains tous les éléments pour conclure. Voici plusieurs remarques :

1) Tu n'as pas besoin de supposer m positif et tu n'as pas besoin de comparer n et m.
2) Dans ta démonstration, tu n'utilises pas suffisamment la structure de groupe. Tu sais que si x est un élément du groupe, alors tout multiple de x est dans le groupe. Il faudra néanmoins utiliser ce que tu dis (que la somme ou la différence de deux éléments du groupe est également un élément du groupe).
3) Avec tout ça, il faudrait essayer de montrer que r=0 en ayant une information de plus sur r.
4) c'est probablement une faute de frappe mais si r=0, alors m=kn avec k=q et non k=q-1

Bon dimanche à toi aussi.

Kaiser

Bonjour Kaiser,

ça avait bien commencé mais tu est encore en train de dire que r est un multiple de n ce qui n'a pas encore été montré.
Il faut bien avoir en tête qu'il y a une chose que tu n'utilises pas : la définition de n.
Bref, ta démonstration est correct jusqu'à "".

Ensuite, il faut reprendre d'une manière différente.
On veut montrer que r est différent de 0. Si ce n'est pas le cas, ça voudrait dire en particulier que r > 0, mais comme r appartient à H, qu'est-ce que cela impliquerait ?

Kaiser

Oui, c'était effectivement l'erreur que tu commettais, mais maintenant tout est correct.
Par contre, à la fin de ton raisonnement par l'absurde, tu pouvais directement dire que r=0 après avoir abouti à une absurdité vu que c'est cette condition que tu as niée.

Merci Kaiser pour tout ce temps et cette aide progressive qui m'a aidé à construire cette démonstration et finalement progressivement à mieux comprendre tout "ce qui gravite" autour.

Mais je t'en prie !
Bonne fin de week end à toi aussi !