Bonjour, g un dm sur les variables aléatoires pour la rentrée, mais bon là je suis devant une impasse, alors si quelqu'un a le temps de jeter un coup d'oeil, je met l'énoncé avec les résultats que j'ai trouvé et ce qui me pose probleme. Merci d'avance.
On fixe n dans N* et p dans ]0,1[.
Une secétaire cherche à joindre n correspondats. A chaque appel, la probabilité qu'elle réussisse à jiondre son correspondant vaut p.
Elle effectue un premier essai avec chacun de ses correspondats. On note X la variable aléatoire égale au nombre de correspondants qu'elle a réussi à joindre du premier coup.
Elle effectue ensuite un deuxième essai auprès des correspondats qui n'ont pas répondu la première fois. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de correspondats qu'elle a réussi à joindre lors de cette deuxième session.
On pose enfin Z=X+Y.
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a. Déterminer la loi de X.

Bon là je répondrai que X-> B(n,p), puisqu'elle effectue n appels indépendants et identiques. (de même probabilité).
On aurait donc : X(omega)=[|0,n|]
P(X=k)=(n k)p^k(1-p)^n-k
(n k) <->" k parmi n"

b. Pour tout k dans [|0,n|], déterminer la loi de Y sachant [Y=k]

Je pense que Y suit la loi binomiale de parametres (n-k, p )
Y(omega)|[Y=k]=[|0,n-k|]
P([Y=j] | [X=k] ) = ( (n-k) j )p^(1-p)^n-k-j

c. Calculer la probailité pour un correspondant donné, d'être joint au deuxieme essai de la secrétaire. En déduire que Y suit la loi B(n,p(1-p)).

Pour la premiere partie pas de probleme a priori, j'introduis deux variable aléatoire Ai et Bi valant respectivement 1 si la i-eme personne est appelée lors du 1ere ou 2eme essai.
J'applique alors la formule des proba totales au systeme complet d'évenements ([Ai=1];[Ai=0]) et trouve P(Bi=1)=p(1-p).
Bi->B(p(1-p).

Pour la deuxieme partie de la question j'écris que
Y=B1+B2+...+Bn et conclus.

d.1. Montrer que pour tout couple (j,k) d'entiers positifs vérifiant j+k<=n (inférieur ou égal) , on a (n k)( (n-k) j)=(n j)( (n-j) k).

Pas de problème, je montre celà en exploitant la formule avec les factorielles.

2. En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, et des constattions des questions a et b, une deuxieme démonstration du fait que Y suit la loi B(n,p(1-p)).
là encore ca va.
e.->le proba de n'être pa joint du tout : (1-p)²
->(n-Z)->B(n,(1-p)²)
-> Z->(n,1-(1-p)²)
f.(n j)(n-j m-j)=(n m)(m j)

Et le probleme cest de retrouver la loi de Z avec les probabilités totales et les constations de a. et b.

et cà, j'arrive pas à le faire, alors si kkun veut bien jeter un coup d'oeil