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hexgone régulier
Bonjour à tous!
Je souhaite votre aide s'il vous plait pour l'exercice suivant :
Soit C un cercle de centre O, de rayon R.
1) Construis un hexagone régulier A1A2A3A4A5A6 inscrit dans le cercle.
2) Exprime en fonction de R le périmètre du polygone régulier.
3) Soit H le milieu de [A1A2], prouve que le triangle OHA1 est rectangle.
4) Exprime en fonction de R, la longueur OH, OH est appelé l'apothème de l'hexagone.
5) La droite (OH) coupe le petit arc A1A2 en T. Construis la tangente au cercle C au point T; elle coupe (OA1) en B1, (OA2) en B2. On admettra que [B1B2] est un côté d'un deuxième hexagone régulier dont les 6 côtés sont tangents au cercle, il est circonscrit au cercle. Trace cet hexagone régulier.
6) Que peut-on dire des cotés des 2 hexagones inscrits et circonscrits deux à deux?
7) En appliquant le théorème de Thalès aux triangles OAH1 et OTB1, exprime TB1 en fonction de R.
8) Exprime le périmètre de l'hexgone B1B2B3B4B5B6 en fonction de R.
9) D'après Archimède, le périmètre du cercle est compris entre le périmètre de l'hexagone inscrit et celui de l'hexagone circonscrit au cercle. Si le rayon R est égal à 2cm, déduis en un encadrement du périmètre du cercle.
Reponse :
1) En fait , je trace le cercle C et je divise 360° par 6 donc je mesure des angles de 60° et je place les points A1 à A6.
Bonsoir,
2) Indication : montre que tous les triangles OA1A2, OA2A3...OA5A6 sont équilatéraux.
Qu'en déduis-tu pour les mesures de A1A2, A2A3...A5A6 ?
2) chaque angle mesure 60°. J'ai une idée. mais j'ai du mal à l'exprimer.
Un polygone est régulier si tous ces côtés sont de même longueur et si tous les angles formés par 2 côtés consécutifs sont de même mesure.
Ici tous les angles sont de 60°
donc 0A1A2 , 0A2A3, OA3A4, OA4A5, 0A5A6, OA6A1 sont tous des triangles équilatéraux : donc les 3 cotés du triangle sot identiques et valent R.
Donc le périmètre du polygone régulier est A1A2-A2A3-A3A4-A4A5-A5A6-A6A1 = 6*R
3) Si H est le milieu de A1A2 : dans le triangle équilatéral OA1A2 : la droite OH est la hauteur du triangle OA1A2 : et de plus OH est la médiatrice du segment A1A2 : donc OHA1 est un triangle rectangle en H. Comme OHA2 est rectangle en H.
4) Dans le triangle équilatéral OA1A2 : H milieu du segment A1A2.
Dans le triangle OHA1 rectangle en H : OA1 = R; A1H = (R/2) .
Donc dans le triangle OHA1 rectangle en H : j'applique le théorème de Pythagore.
donc A1H² + OH² = OA1² donc OH² = OA1²-A1H² donc OH² = R²-(R/2)² = R²-R²/4 = 4R²/4 - R²/4 = 3R²/4 donc OH= 
(3R²/4) = (3)R/2.
voila une précision importante qui aurait dû être faite dès le début....
il vaudrait quand même mieux que tu crées ton propre compte avec ton propre niveau...cela ne te coûtera pas plus cher ....
pouvez vous m'aider sur les hexagones inscrits et circonscrits deux à deux, je bloque sur la figure 5) et cette question6.
6) La tangente en T, et donc le segment B1B2, sont perpendiculaires à OH, et OH est perpendiculaire à à A1A2. Donc B1B2 est parallèle à A1A2.
Les triangle OHA1 et OTB1 sont donc semblables, ainsi que OHA2 et OTB2, ainsi que OA1A2 et OB1B2.
pour la question 7) j'ai une idée : soit le triangle OB1T : donc l'angle OB1T = 30°
tan 30° = B1T / OT donc B1T = tan 30° * OT = tan30° * R
donc B1B2 = 2 B1T = 2tan 30° * R
8) Périmetre B1B2B3B4B5B6 = 6* B1B2 = 12 R tan30°
9) Périmètre Hexagone inscrit < Périmètre Cercle < périmètre Hexagone circonscrit.
donc 6R < perimètre cercle< 12 R tan 30°
Serait il possible de m'aiguiller : de me corriger ou de me dire si je suis proche de la solution.
Merci de votre aide
C'est probablement exact, ceci dit l'énoncé te dit d'appliquer Thalès dans les triangles OAH1 et OTB1, ça serait plus rapide et ça t'éviterait le recours à tan 30°...
à la question 7) j'applique Thalès :
OH/OT = OA1/OB1= A1H/B1[/sub
mais je bloque car je ne connais pas OT, OB[sub]1, B1T.
Comment puis je me débrouiller? . Merci
Mais si, tu les connais :
OT = R (c'est un rayon)
OH = (3)R/2 (question 4)
Et donc, les triangles OHA1 et OTB1 étant semblables :
TB1/HA1 = OT/OH = 2/3
B1B2 = 2TB1 = 2HA1*2/3 = 2*(R/2)*2/3
B1B2 = R*2/3
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