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Niveau Licence Maths 1e ann
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Hiérarchie des espaces vectoriels

Posté par
valire
20-01-18 à 00:43

bonjour
existe il une hiérarchie entre les espaces:
Banach , métrique , préhilbertien , hermitien, euclidien . ..
c-à-d :
peut on dire par exemple: qu'un espace de Hilbert est un espace normé mais l'inverse n'est pas vraie
merci

Posté par
WilliamM007
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 20-01-18 à 09:01

Bonjour.

Pour rappel :

Banach = espace vectoriel réel ou complexe normé complet
Métrique = muni d'une distance
Préhilbertien = espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire euclidien ou hermitien
Hermitien = espace préhilbertien complexe de dimension finie
Euclidien = espace préhilbertien réel de dimension finie
Hilbert = espace préhilbertien complet.

Rappelons que l'existence d'un produit scalaire eucliden ou hermitien induit une norme et donc une distance. Donc

Hermitien ou Euclidien => Hilbert => Préhilbertien => Normé => Métrique
Hermitien ou Eucliden => Hilbert => Banach => Normé => Métrique

Posté par
valire
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 20-01-18 à 21:07

Une réponse satisfaite
merci beaucoup  
reste une chose :
sur wiki la définition d'un espace de Hilbert est:
Espace pré-Hilbertien complet.
mais j'ai trouvé sur un livre la définition suivante:
Espace pré-Hilbertien complet séparable .
c'est quoi un espace séparable ?  

Posté par
jsvdb
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 20-01-18 à 21:18

Bonsoir valire.
Je rajouterai à la description de WilliamM007 (que je salue) que tous les espaces qu'il décrit sont tous des espaces vectoriels topologiques.
Parmi les espaces vectoriels topologiques, il y a bien sûr tous ceux décrits ci-dessus, et qui sont normés, mais il y a aussi ceux qui ne sont pas métrisables. En particulier, les EV munis d'une topologie faible (de dimension infinie).

Un espace vectoriel topologique est dit séparable s'il existe une suite dénombrable dense dans cet espace.

Posté par
jsvdb
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 20-01-18 à 21:20

Citation :
mais j'ai trouvé sur un livre la définition suivante:
Espace pré-Hilbertien complet séparable .

Définition redondante puisque tout espace de Hilbert est séparable.

Posté par
jsvdb
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 20-01-18 à 21:22

Oubliez ma dernière remarque, elle est fausse ...
Tout espace de Hilbert admettant une base hilbertienne est séparable.

Posté par
WilliamM007
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 21-01-18 à 00:20

Salut jsvdb

Citation :
mais j'ai trouvé sur un livre la définition suivante:
Espace pré-Hilbertien complet séparable .
c'est quoi un espace séparable ?  

jsvdb a répondu à la question (il existe un sous-ensemble dénombrable dense), mais je serais curieux de savoir quel livre utilise cette définition, car pour moi l'hypothèse de séparabilité ne fait pas partie de la définition d'un Hilbert.

Effectivement, un espace de Hilbert est séparable ssi il admet une base hilbertienne au plus dénombrable. Si on suppose l'axiome du choix, il me semble que tout espace de Hilbert admet une base hilbertienne éventuellement non dénombrable.

Posté par
jsvdb
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 21-01-18 à 00:49

Certes, mais quid d'une série de type x = \sum_{i\in I}^{}{\langle x;e_i\rangle. e_i} avec I non dénombrable.
Sans compter ||x||^2 = \sum_{i\in I}^{}{|\langle x;e_i\rangle|^2}

Posté par
WilliamM007
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 21-01-18 à 09:54

jsvdb @ 21-01-2018 à 00:49

Certes, mais quid d'une série de type x = \sum_{i\in I}^{}{\langle x;e_i\rangle. e_i} avec I non dénombrable.
Sans compter ||x||^2 = \sum_{i\in I}^{}{|\langle x;e_i\rangle|^2}

Il existe une notion de sommabilité dans un ev avec un ensemble d'indices non dénombrable, si c'est ta question. C'est plus pénible, mais ça se fait.

Pour rappel, la suite (u_i)_{i\in I} est dite sommable s'il existe S tel que
\forall\varepsilon>0,\exists K_\varepsilon\textrm{ fini }\subset I,\forall J\textrm{ fini }\subset I,(K_\varepsilon\subset J\implies\Vert\sum_{j\in J}u_j-S\Vert<\varepsilon)

Une propriété fondamentale : si la suite (u_i)_{i\in I} est sommable, alors l'ensemble des i\in I tels que u_i soit non nul est au plus dénombrable, donc on se ramène à une somme sur un nombre au plus dénombrable d'indices.

Posté par
carpediem
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 21-01-18 à 10:05

voir

Posté par
valire
re : Hiérarchie des espaces vectoriels 21-01-18 à 18:30

reponse à : WilliamM007

Citation :

mais je serais curieux de savoir quel livre utilise cette définition,

le Livre est: "Kernel Methods for Pattern Analysis" de John Shawe-Taylor



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