bonjour
existe il une hiérarchie entre les espaces:
Banach , métrique , préhilbertien , hermitien, euclidien . ..
c-à-d :
peut on dire par exemple: qu'un espace de Hilbert est un espace normé mais l'inverse n'est pas vraie
merci
Bonjour.
Pour rappel :
Banach = espace vectoriel réel ou complexe normé complet
Métrique = muni d'une distance
Préhilbertien = espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire euclidien ou hermitien
Hermitien = espace préhilbertien complexe de dimension finie
Euclidien = espace préhilbertien réel de dimension finie
Hilbert = espace préhilbertien complet.
Rappelons que l'existence d'un produit scalaire eucliden ou hermitien induit une norme et donc une distance. Donc
Hermitien ou Euclidien => Hilbert => Préhilbertien => Normé => Métrique
Hermitien ou Eucliden => Hilbert => Banach => Normé => Métrique
Une réponse satisfaite
merci beaucoup
reste une chose :
sur wiki la définition d'un espace de Hilbert est:
Espace pré-Hilbertien complet.
mais j'ai trouvé sur un livre la définition suivante:
Espace pré-Hilbertien complet séparable .
c'est quoi un espace séparable ?
Bonsoir valire.
Je rajouterai à la description de WilliamM007 (que je salue) que tous les espaces qu'il décrit sont tous des espaces vectoriels topologiques.
Parmi les espaces vectoriels topologiques, il y a bien sûr tous ceux décrits ci-dessus, et qui sont normés, mais il y a aussi ceux qui ne sont pas métrisables. En particulier, les EV munis d'une topologie faible (de dimension infinie).
Un espace vectoriel topologique est dit séparable s'il existe une suite dénombrable dense dans cet espace.
Oubliez ma dernière remarque, elle est fausse ...
Tout espace de Hilbert admettant une base hilbertienne est séparable.
Salut jsvdb
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