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Holomorphe

Posté par
tigresoleil 23-07-15 à 21:31

Bonjour,
S'il vous plait je veux la démonstration de cette proprieté

zf(z) est holomorphe sur

Ssi
df(z)/dz(bar) = 0   z

Posté par
david9333re : Holomorphe 24-07-15 à 01:39

avec x,y réels à la fin

Posté par
david9333re : Holomorphe 24-07-15 à 01:41

Bonjour,

j'ai l'impression que tu cherches à en apprendre beaucoup sur pas mal de domaines mathématiques. Pour une telle démarche, c'est pas mal de faire ses recherches par soi-même et de demander de l'aide quand tu ne trouves pas. Ici, ta question renvoie à une des premières propriétés que tout cours sur les fonctions holomorphes contient.

Je te réponds quand même.
Ton énoncé est faux. Ce qu'on peut démontrer c'est que f:\Omega\rightarrow\mathbb{C} est holomorphe si et seulement si f est \mathbb{R}-différentiable en tout point de \Omega et vérifie les équations de Cauchy-Riemann en tout point z\in\Omega : \cfrac{\partial f}{\partial y}(z)=i\cfrac{\partial f}{\partial x}(z) (ou \overline{\partial}f(z)=0 comme tu l'as écrit).

On montre ceci en démontrant le théorème suivant :
f:\Omega\rightarrow\mathbb{C} est holomorphe en un point z_0\in\mathbb{C} si et seulement si f est \mathbb{R}-différentiable en z_0 et vérifie les équations de Cauchy-Riemann en z_0.

Supposons que f est holomorphe en z_0. Par définition \cfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}\alpha\equiv f'(z_0).
Comme \Omega est ouvert, il existe r>0 tel que B(0,r)\subset\Omega. On peut alors définir la fonction \varepsilon:\begin{array}{rcl}B(0,r)&\rightarrow&\mathbb{C}\\h&\mapsto&\left\lbrace\begin{array}{ll}\cfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-f'(z_0)&\text{si }h\neq0\\0&\text{ si }h=0\end{array}\right.\end{array}
Alors, f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+h\varepsilon(h) où L(h)=hf'(z_0).
L:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} est \mathbb{R}-linéaire, donc f est \mathbb{R}-différentiable en z_0.
De plus, \cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0)=L(1)=f'(z_0) et \cfrac{\partial f}{\partial y}(z_0)=L(i)=if'(z_0) donc on a bien \cfrac{\partial f}{\partial y}(z_0)=i\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0).

Réciproquement, notons L la \mathbb{R}-différentielle de f. Alors f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+h\varepsilon(h) avec \varepsilon(h)\xrightarrow[h\to0]{}0.
Soit h=x+iy. Comme L est \mathbb{R}-linéaire, L(h)=xL(1)+yL(i)=x\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0)+y\cfrac{\partial f}{\partial y}(z_0) donc, avec les équations de Cauchy-Riemann, L(h)=x\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0)+iy\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0)=h\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0)
Ainsi, \cfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0)+\varepsilon(h)\xrightarrow[h\to0]{}\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0) et f est holomorphe en z_0 (et f'(z_0)=\cfrac{\partial f}{\partial x}(z_0).)


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