Bonjour lolo5959

Quand tu parles de fonction univalente, ça veut dire injective, non ?
Sinon, l'utilisation du lemme de Scwharz me paraît judicieuse. D'ailleurs, peux tu me rappeler ce que dit ce lemme ? (juste pour voir)

Kaiser

Bonjour kaiser

Univalente, oui, je pense que c'est injective (en tout cas, c'est avec quoi j'ai essayé...)

Le lemme de Schwarz dit que:

si

un petit problème ?

Zut, mauvais bouton

Je disais:

Soit f : D--->D une fonction holomorphe telle que f(0)=0
Alors:
i) /f(z)/ < /z/ (inférieur ou égal)
ii) Si il existe zo non nul tel que /f(z0)/=/z0/ alors il existe un complexe a de module 1 tel que f(z)=az.

Voilà ce que j'ai dans mes notes.

C'est gentil à toi de bien vouloir m'aider je commençais à désespérer...

Ce que l'on peut déjà dire, c'est que la fonction g vérifie les hypothèses du théorème. Plus précisément, g est holomorphe de B dans B et elle vérifie g(0)=0 (car f(0) est un point fixe de h, par hypothèse).

Ainsi, g vérifie le point (i) du lemme.
Voyons voir si cela suffit pour conclure.

Je viens de vérifier ça rapidement et il semblerait que le point (i) suffit pour conclure.
On va reprendre du début !
D'après le lemme de Scwharz, on a pour tout z appartenant à B,

Ce qu'il faut montrer c'est que pour tout r compris strictement entre 0 et 1, on a .
Or .

Tu continues ?

Kaiser

je regarde...

OK !

Oui, donc comme Dr={f(z),/z/ < r}, on peut remplacer f(z) par Dr dans la formule car z est dans B.

Donc / f^-1(h(Dr))/ < /z/

Or /z/ < r et r<1

Et euh... j'aurais bien envie de me débarasser de la valeur absolue , comme ça je compose par f à droite et à gauche mais je pense que je ne peux pas, alors je crois que j'ai encore besoin d'une petite aide

On va y aller doucement !
ce qu'il faut montrer, c'est que pour tout complexe z' appartenant à , on a est dans , ou même encore, que pour tout complexe de module strictement inférieur à r, h(f(z)) est dans .
Soit donc z de module strictement inférieur à r.
Alors

Donc est un complexe de module strictement inférieur à r. Tu ne vois toujours pas ?

kaiser

En fait, en partant en sens inverse:

h(Dr)Dr
Dons f^-1 (h(Dr))f^-1(Dr)

Or Dr image de Br par f , donc F^-1(Dr) = Br

Et Br disque ouvert tel que /z/<r et là, il faudrait que j'arrive à l'inégalité que tu as marquée (oui, je triche, mais je pense voir où arriver mais je ne vois pas comment y arriver...)

oups désolée j'ais pas actualisé

Et donc finalement, est-ce clair ?

Oui, donc f^-1 ( h ( f (z))) est dans Br.

Donc h(f(z)) est dans f(Br) = Dr.

C'est bon?

C'est exactement ça !

Ben je te remercie beaucouop kaiser , dire que j'y ai passé des heures

Maintenant, je vais pouvoir continuer l'exercice...

Mais je t'en prie !
Bon courage pour la suite !

Merci! il va m'en falloir

Bonjour kaiser!

Sitôt dit, sitôt fait, je me suis remis à la suite de l'exercice, et bien-sûr, j'ai cherché pour rien ...Mais en fait, je ne voulais pas te redemander de l'aide paske je ne veux pas non plus abuser de tes services mais du coup, ça me tracasse alors je mets ma question quand-même...

On me demande donc de montrer que, si D est étoilé par rapport au point f(o), alors Dr est aussi étoilé  par rapport au point f(0), pour 0 <r< 1.

Là, on me dit de me ramener au cas où f(0)=0 et de considérer la fonction
f ^-1(f(z))

Si tu as une petite idée...

J'aurais pas dû me lancer dans cet exercice pour m'entraîner, qu'est ce qui m'a pris !

En fait Voilà comment je suis parti:

D est étoilé par rapoport au point f(0), donc j'ai pris un z quelconque dans D et j'ai dit que le segment de droite joignant f(0) à z est contenu dans D (simple application de la définition de étoilé).
Or, D est l'image de B par f.
Donc on peut trouver un segment joignant f(0) à z dans f(B), donc un segment joignant 0 à f^-1(z) dans B. (en fait, j'ai essayé de pouvoir utiliser l'indication...) mais après je pars dans des trucs qui ne mènent nul part...

Bonjour lolo5959

A priori, ce que tu écris est correct mais apparemment, tu dis que ça mène nulle part.
On va déjà se ramener au cas où f(0)=0.

Ma première question est la suivante :
Es-tu d'accord avec moi si j'affirme que est étoilé par rapport à f(0) si et seulement si est étoilé par rapport à 0 ?

Kaiser

Oui, je suis d'accord !

OK !
Ainsi, si l'on pose g la fonction définie par , g vérifie les même hypothèses que f. Plus précisément, g est holomorphe et bijective de B dans .
Notons .
On a donc, d'après la remarque de mon précédent message, que étoilé par rapport à f(0) si et seulement si l'est par rapport à 0.
On peut donc supposer que f(0)=0.
Es-tu encore d'accord avec moi ?

Kaiser

Euh...je ne vois pas pourquoi g va de B dans {z-f(0),zD}

Ah si c'est bon, ! Ok je comprends !

Oui c'est ok pour l'instant

Dans l'indication, la fonction que l'on te demande d'utiliser est une fonction de et z est bien fixé ?

Ah oui, j'ai oublié un truc : est compris strictement entre 0 et 1, voilà tout ce qu'on me dit ...

On commence et ensuite on verra bien comment ça se passe.
On veut montrer que est étoilé par rapport à 0, donc que pour tout z dans, le segment est inclus dans ou encore que ou de manière équivalente que .

Kaiser

En fait là tu reprends sur une autre piste si je comprends bien?

C'est-à-dire ?
En fait, j'essaie simplement de réutiliser l'indication !

En fait, je voulais dire que c'était pas la suite de ton message de 18h54..

Mais oui, pour l'instant je comprends (enfin, déjà ça j'aurais jamais pensé à le faire...)

Si parce ce message me permet de supposer que f(0)=0, ce que j'ai fait dans mon message de 19h15.

Ah oui excuse moi, j'ai du mal

C'est pas grave !
Le tout est donc de démontrer le dernier résultat de mon message de 19h15.
Pour alléger les notations, posons .
Pour l'instant, je n'ai pas encore de résultat donc si tu as des suggestions ...

Oui, c'est bon, j'y suis !

Euh... des suggestions, oui,pour l'instant non, je m'y penche de suite

P.S:Je ne veux pas t'embêter avec cet exo, si tu ne vois pas de résultat, c'est pas grave,passe pas ton temps à chercher,j'me sentirai coupable...

Non, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne vois vraiment pas!
Mais bon, j'arrête pour ce soir,faut que j'aille rechercher mon frère à 1 heure d'icialors voilà,bonne soirée à toi et surtout un grand MERCI,je continuerai à chercher durant les feux rouges et repasserai demain

lolo

OK !

Bonjour kaiser!

J'avais dit que je reviendrai, je suis revenue juste pour annoncer mon abandon face à cet exercice ...trop compliqué pour moi.

En tout cas,je te remercie bien de m'avoir aidé,c'est gentil!  :)

Je retourne dans mes révisions...mais plus de variables complexes

Bonjour lolo5959

Abandon ? Déjà ?
OK ! C'est toi qui voit !

Kaiser
P.S : bon courage pour tes révisions !

Ben oui, abandon, en fait j'aime pas non plus abandonner quand je trouve pas comme ça mais j'y ai bien passé au moins 7 heures et j'ai encore 3 autres matières à réviser (dont certaines à viser plutôt ) ...pour lundi !

Mais quand les exams seront finis, pourquoi pas m'y remettre, pour la culture !

lolo

Pour revenir au début, fonction univalente, ca ne veut pas plutôt dire qu'à un point z il existe un seul f(z)?
Histoire d'éviter les cas méchants où on ferait intervenir des surfaces de Riemann.

Bonjour otto , ben en fait, je croyais que ça voulait dire injectiv ,mais peut-être que c'est plus complet que ça...

Bonjour otto

En farfouillant sur le net, je suis tombé sur la définition d'une fonction univalente : "une fonction f définie sur un ouvert de est dite univalente si elle est holomorphe et injective"

Kaiser

Rebonjour(soir), désolée d'être partie aussitôt mon message posté, j'ai été bannie

Salut,
c'est drôle, je viens de trouver la même définition.
Ca remet en cause la compréhension d'une partie d'article que je viens de lire dans ce cas là

Alors quel est le terme pour une fonction holomorphe qui n'est pas définie uniquement sur C, comme par exemple la racine carrée, que l'on doit définir sur une surface de Riemann à deux feuilles? Je pensais justement que c'était le terme multi-valent qui était utilisé...

Bonjour otto

multi-valent ou alors mutivaluée (ou les deux ) ?

Kaiser