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Homéomorphisme ]0, 2pi[ cerlce unité privé de 1

Posté par
Kernelpanic 16-08-19 à 20:08

Bonsoir à tous,

en relisant un exemple, je me rends compte que je ne l'ai pas compris et ça me frustre. Le voici (je mets jusqu'à la partie que je ne comprends pas) :

\huge \text{Soit X = } ] 0 ; 2\pi [ \text{ et } Y = \Gamma\backslash\{1\} \text{ le cercle unit\'{e} priv\'{e} de 1 et } h(x) = e^{ix} \text{ ; h est un hom\'{e}omorphisme de X sur Y.} \\ \\ \text{Il est clair que h est une bijection continue de X sur Y ; pour montrer que } h^-1 \\ \text{est continue, il suffit (cf. IV) de montrer que } x_n \text{ tend vers x si } e^{ix_n} \text{ tend vers } e^{ix} .

Je ne comprends pas bien la démarche. J'ai essayé de trouver à quoi correspondait ce "cf IV" et je pense que c'est la propriété :

x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x) pour une suite (x_n) implique que f continue

néanmoins faire ça prouve juste que h est continue et non sa réciproque ? Je dois manquer de sommeil, la première fois que j'ai lu cet exemple ça ne m'a pas choqué et m'a même semblé normal...

Posté par
Zormuchere : Homéomorphisme ]0, 2pi[ cerlce unité privé de 1 16-08-19 à 20:39

Bonjour

Soit f une fonction bijective ; si f^{-1} est continue, alors pour toute suite (x_n), on a  f(x_n)\rightarrow f(x) \Longrightarrow f^{-1}(f(x_n)) \Longrightarrow f^{-1}(f(x))

Posté par
Zormuchere : Homéomorphisme ]0, 2pi[ cerlce unité privé de 1 16-08-19 à 20:40

oups :


f(x_n)\rightarrow f(x) \quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(f(x_n)) \rightarrow f^{-1}(f(x))

Posté par
Zormuchere : Homéomorphisme ]0, 2pi[ cerlce unité privé de 1 16-08-19 à 20:42

cependant, au vu de ta démonstration, je ne sais pas ce qu'est la suite x_n, et si ça ne marche qu'avec une seule suite, on ne peut rien dire...

Posté par
Kernelpanicre : Homéomorphisme ]0, 2pi[ cerlce unité privé de 1 16-08-19 à 21:27

Bonsoir Zormuche,

j'ai eu l'illumination pendant mon dîner, merci de confirmer que mon idée est la bonne. C'est vrai que j'aurais dû détailler, dans le passage de la démo x_n est une suite quelconque donc ça marche plutôt bien pour démontrer la propriété. Comme on a équivalence entre :

1) f : X -> Y est continue
2) pour toute suite (x_n) dans X qui tend vers x, f(x_n) \to x

la démo du livre est bonne.

Passe une bonne soirée.

Posté par
Kernelpanicre : Homéomorphisme ]0, 2pi[ cerlce unité privé de 1 16-08-19 à 21:28

f(x_n) -> f(x) c'est mieux comme ça...


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