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Niveau Maths sup
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homéomorphisme : cercle qui devient un carré

Posté par
ephrat
22-01-12 à 01:56

bonsoir

Quand j'étais en sup il y a "quelques" années, le prof avait posé l'exo suivant :
"trouver un homéomorphisme qui transforme un CERCLE en CARRE"

le cours d'après , un élève brillant (julien stern) s'était levé et avait marqué au tableau
exercice GARCIMORE
puis il avait corrigé l'exo !

malheureusement, je me souviens de la personne et de la blague ... mais pas de sa correction !
je sais juste trouver une telle fonction sur des petits intervalles ie 1/8 de cercle qui devient 1/2 côté mais je n'ai pas d'expression GLOBALE

est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

merci !

Posté par
DHilbert
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 08:55

Un exemple d'un tel homéomorphisme est donné à la page 43 du livre de Monsieur Laurent Schwartz intitulé "Analyse - Topologie générale et analyse fonctionnelle".

Là, je dois partir !

A +

Posté par
Reti
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 09:19

Les livres d'analyse de Schwartz sont ils biens ? A quel public s'adresse-t-il ?

Posté par
ephrat
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 09:21

merci pour la référence mais je n'ai pas le livre.
Serait-il possible d'avoir les détails ? (si ça n'est pas trop long à recopier)

Posté par
frenicle
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 10:06

Bonjour,

Il me semble que l'application (x,y)\rightarrow (\frac{x}{max(|x|,|y|)},\frac{y}{max(|x|,|y|)}) transforme le cercle unité en carré unité.

Posté par
frenicle
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 11:01

Oups, c'est complètement faux désolé

Posté par
ephrat
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 11:58

merci frenicle
dommage, ce que tu avais trouvé me paraissait bien sympathique !
(où ça pêchait ta solution ?)

si tu as autre chose, je suis preneur.

Posté par
Arkhnor
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 12:13

Bonjour.

On transforme chaque point x du cercle unité en un point f(x) du carré unité de la façon suivante : on trace la demi-droite issue de l'origine et passant par x, et on définit f(x) comme l'intersection de cette demi-droite avec le carré unité.

On peut facilement trouver une formule explicite pour f.

C'est exactement la même idée qui permet de montrer que n'importe quel convexe compact et d'intérieur non vide de \mathbb{R}^n est homéomorphe à la boule unité fermée, et que l'homéomorphisme transforme la frontière du convexe en la sphère unité.

Posté par
ephrat
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 12:53

d'accord avec toi, arkhnor. j'avais compris ce procédé "homothétie à rapport variable".
mais mon problème est de justement TROUVER la fonction f (ainsi que sa réciproque, au passge)
l'idée d'utiliser un max (|x],|y|) m'a plu mais je n'arrive pas à la concrétiser (je ne vois même pas l'erreur dans ce que m'a proposé frenicle...)

désolé, la sup est derrière moi depuis 20 ans... je me suis ramolli...

Posté par
alainpaul
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 12:59

Bonjour,

Pour le cercle
 R = (x^n+y^n)^{1/n}  , n = 2 ,
Quid si n = 2p , p entier > 2 ?


Alain

Posté par
frenicle
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 13:05

Réflexion faite, je pense à nouveau que ce que j'ai écrit est juste.
Je ne sais pas pourquoi ça m'a semblé idiot tout d'un coup.

Posté par
DHilbert
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 13:27

Selon Monsieur Schwartz, l'on considère le disque de \R^2 défini par D=\{(x,\,y)\,\vert\,x^2+y^2\leq 1\} et le carré défini par C=\{(u,\,v)\,\vert\,\vert\,u\,\vert\leq\,1\text{ et }\vert\,v\,\vert\leq\,1\}. Considérons alors l'application f définie de la manière suivante. f(0,\,0)=0 et, pour tout (x,\,y) dans \R^2-\{(0,\,0)\}, f(x,\,y)=\Big(\frac{x\sqrt{x^2+y^2}}{\max (\vert\,x\,\vert,\,\vert\,y\,\vert)},\,\frac{y\sqrt{x^2+y^2}}{\max (\vert\,x\,\vert,\,\vert\,y\,\vert)}\Big). f est alors un homéomorphisme de D sur C.

A +

Posté par
frenicle
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 13:41

Ah, si Laurent Schwartz confirme, je me sens mieux, tout d'un coup

Posté par
Arkhnor
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 14:21

frenicle> C'est exactement ce que je propose en fait. C'est un homéomorphisme car continu et bijectif sur un compact.

alainpaul> Quelle est ta question ? Si tu cherches un homéomorphisme de l'ensemble \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; / \; x^p + y^p = 1 \} sur le cercle unité, la même idée "d'homothétie à rapport variable" marche exactement pareil.

De toute façon, n'importe quelle courbe fermée simple est homéomorphe au cercle unité. (le cercle unité est homéomorphe à l'intervalle [0,1] auquel on a identifié les extrémités)
On peut même trouver un homéomorphisme du plan qui transforme la courbe en le cercle unité, mais c'est "un brin" plus compliqué ...

Posté par
frenicle
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 14:41

@Arkhnor
Oui, bien sûr, nous sommes d'accord, mais ephrat cherchait une formule de calcul explicite, avec des x et des y, si j'ai bien compris.

Posté par
ephrat
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 15:58

eh bien, frenicle, tu avais finalement bien vu (un petit coup de stress le dimanche matin t'aura fait douter !)
Puis-je abuser en te demandant aussi la fonction RECIPROQUE ?

merci.

Posté par
Arkhnor
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 17:08

Si ||.|| est une norme quelconque sur \mathbb{R}^n, l'application x \to \frac{x}{||x||} ramène tout point sur la sphère unité associée à la norme.

Ca marche donc pour la norme du max ||x||_{\infty} = \underset{i = 1, ..., n} \max \, |x_i| (ce qui donne l'homéomorphisme transformant le cercle en carré) tout comme la norme euclidienne. (qui donne l'application réciproque)

Posté par
frenicle
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 18:30

@Arkhnor
Lumineux

Posté par
Arkhnor
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 19:18

Je n'ai pas inventé grand chose.
C'est cette idée qui permet de montrer que tout compact convexe d'intérieur non vide est homéomorphe à la boule unité euclidienne, puisqu'un tel compact est, à une translation près, la boule unité fermée pour une certaine norme. D'ailleurs, les fonctionnelles de Minkowski, qui permettent de construire ces normes associées à un compact convexe, fonctionnent aussi sur ce principe.

Posté par
ephrat
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 19:24

(un bon quart d'heure pour comprendre mais j'ai finalement compris)
ah oui, effectivement, c'est très bien vu !

merci à vous deux, arkhnor et frenicle

Posté par
ephrat
re : homéomorphisme : cercle qui devient un carré 22-01-12 à 19:25

et merci aussi à DHilbert pour la source !



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