Bonsoir,

je suppose que le terme «enchâssé» signifie «plongé», c'est ça ?

Puisque l'on dispose localement de coordonnées, on ne s'en prive pas pour définir des fonctions localement puis pour tout recoller globalement. Comme le fait d'être un homéomorphisme est une propriété locale sur la variété cible (le co-domaine), ça marche bien. Je n'ai pas vraiment d'exemples où un homéomorphisme peut être défini explicitement sans passer par des coordonnées.

Après tout, c'est un peu ça l'intérêt des variétés topologiques, on connaît bien les choses sur un ouvert d'un espace euclidien donc on impose à notre objet d'avoir la même tête qu'un tel ouvert localement.

Bonjour,

Merci pour cette réponse. Oui "plongé" est le terme auquel je voulais faire référence.

Quand vous dites "on connait bien les choses sur un ouvert d'un espace euclidien donc on impose à notre objet d'avoir la même tête qu'un tel ouvert localement".
En l'occurence (le cas de la sphère ) l'espace euclidien où est plongée est , mais ce n'est pas totalement la même tête car localement la sphère est homéomorphe à , non?

A vrai dire, j'ai fait ce post car dans un autre forum, une personne a essayé de m'expliquer que le caractère lisse (donc la ou différentiabilité) d'un homéomorphisme local sur une variété ne peut se définir que si on a une paramétrisation (locale) de la variété.
D'où ma question sur le fait de savoir si la paramétrisation découle du fait que la variété est plongé dans un  espace euclidien (qui fournit des coordonnées, donc une paramétrisation) ?

Merci et bonne journée.

Je comprends mieux la question. Quelle est ta définition de variété différentielle ?

Pour moi c'est un espace topologique M séparé possédant une base dénombrable d'ouverts tel que, pour tout point p de M, il existe un voisinage ouvert V de ce point homéomorphe à un ouvert U de (où n à priori dépend de la composante connexe du point, mais en général on prend M connexe). On exige aussi que les changements de carte soient lisses.

La donnée de l'ouvert U et de l'homéomorphisme de V vers U est ce qu'on appelle une carte locale au point p mais on peut aussi parler de paramétrisation locale de M au point p. En gros, on se donne juste des coordonnées locales autour de p.

Comme tu vois, c'est intrinsèque à la définition de variété lisse (ou juste variété topologique même), il n'y a pas d'histoire de plongement ou autre. Dans le cas de la sphère , tu as par exemple des paramétrisations locales par les projections stéréographiques depuis le pôle nord et le pôle sud. Si tu veux définir un difféomorphisme de cette sphère vers une autre variété différentielle, tu vas en général définir des difféomorphismes depuis ces cartes et voir si tout se recolle sur les changements de carte.

Bonjour, merci pour votre réponse.

Oui, j'ai bien la même définition de variété différentielle.
J'aurais deux questions :
- est-ce que l'on déclare qu'un changement de carte est lisse ou alors on le remarque (démontre)? Je pencherais plutôt pour la deuxième possibilité, vu que le changement de carte est un fonction de vers , donc on pourrait montrer la différentiabilité en utilisant le calcul multivariable traditionnel.
- j'ai cru comprendre que déclarer que toutes les cartes d'un atlas (un atlas ) sont différentiables est équivalent à dire que tous les changements de carte sur cet atlas sont différentiables. Autant, je comprends l'implication dans un sens (si toutes les cartes sont déclarées différentiables, alors tous les changements de cartes sont différentiables) mais l'implication dans l'autre sens, je n'arrive pas à la démontrer.

Mettons que la variété soit et que l'atlas soit constitué de deux cartes (l'une partant de , l'autre partant de ). Appelons-les et .
Si est , par quoi composer afin d'arriver à démontrer que est ? J'avais pensé à composer à droite par mais l'identité n'est pas forcément une carte valide. En effet, l'identité est un changement de carte, mais pas une carte.


Je vous remercie par avance.
Très bon jeudi

Bonjour,

pour la première question, c'est crucial de vérifier le caractère d'un changement de carte, c'est loin d'être automatique. Par exemple (ce n'est pas le mien, je l'ai trouvé ici ), on peut prendre comme variété topologique avec les deux cartes locales



On vérifie que le changement de cartes n'est pas lisse.

Pour la deuxième question, je ne suis pas sûr de comprendre. Il est nécessaire pour parler d'application différentielle entre variétés d'avoir des changements de cartes lisses (ou ), sinon la notion d'application différentiable est mal définie. On peut imaginer une application différentiable (au sens de la définition usuelle) dans deux cartes locales mais qui ne l'est plus une fois restreinte à l'intersection de ces deux cartes si le changement de carte n'est pas régulier. C'est ce phénomène que l'on évite avec des changements de cartes réguliers : la notion de différentiabilité ne dépend plus de la carte. Donc c'est assez bizarre de dire que l'on "déclare" des changements de cartes comme lisses. On ne peut pas le déclarer, on vérifie par la définition. Le changement est ou bien lisse ou bien n'est pas lisse, ça ne va pas plus loin.

Si maintenant tu as une variété différentielle avec un atlas (maximal) lisse, il est simple de voir que les cartes locales sont bien toutes différentiables. Il faut juste se rappeler de la définition d'application différentielle entre deux variétés . Si tu as une variété (je vais dire tout le temps lisse dans la suite mais tu peux penser à quelque chose de moins régulier) lisse, tout ouvert de la variété hérite d'une structure de variété (même de sous-variété au sens des immersions) lisse et on peut parler de différentiabilité pour les cartes locales. Maintenant, si est une carte locale pour M, c'est clairement une carte locale pour la variété U. Maintenant on applique la définition et c'est presque immédiat.

Bonne journée

Bonjour,

Merci infiniment pour vos réponses.
Quand vous dites "On peut imaginer une application différentiable (au sens de la définition usuelle) dans deux cartes locales mais qui ne l'est plus une fois restreinte à l'intersection de ces deux cartes si le changement de carte n'est pas régulier". Est-ce que vous voulez dire que :
si est lisse en dans la carte (i.e. est lisse en )
et si de plus, est lisse en dans la carte (i.e. est lisse en ),
alors n'est pas lisse en (sous l'hypothèse que les changements de carte ne sont pas lisses).
Si c'est bien ça ce que vous voulez dire, on pourrais arguer que n'est pas .

Mais je comprends globalement pourquoi on veut que tous les changements de carte soient lisses : on veut que la différentiabilité de ne dépende pas de la carte choisie pour définir sa différentiabilité.

Très bonne journée à vous.