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Homéomorphismes de IR d'ordre fini.
Bonjour ;
On se place dans , le groupe des homéomorphismes de
( groupe des bijections bicontinues de
dans lui même ) ,
et on cherche à caractériser ses éléments d'ordre fini , c'est à dire les bijections continues pour lesquelles il existe
un entier naturel non nul tel que
.
Prouver qu'un élément de
est d'ordre fini si et seulement si
se conjugue à
, c'est à dire que :
(sauf erreur de ma part bien entendu)
Bonjour elhor
Voici un début:
f est strictement monotone.
1er cas: f est strictement croissante. Si f(x)>x, la suite fk(x) est strictement croissante et si f(x)
2ème cas: f est strictement décroissante. Alors, pour des raisons de continuité et valeurs intermédiaires, f a un point fixe a. Soit a
J'en suis là...
Bonjour Camélia ;
C'est bien ! Tu viens de prouver que les éléments d'ordre fini de autres que
,
sont les involutions strictement décroissantes.
Pour involution strictement décroissante de
, il s'agit maintenant de trouver un homéomorphisme
de
tel que ,
(je ne te prive pas du plaisir de la découverte)
Ca avance... Déjà on peut à l'aide de la conjugaison par la translation t(x)=x+a se ramener à f(0)=0. je vois à peu près comment faire à partir d'un dessin en tenant compte du fait que le graphe de f est symétrique par rapport à la première bissectrice (f=f-1), mais je ne l'ai pas encore écrit... Donc, attends encore un peu! A bientôt...
Tiens, moi j'en ai une autre:
dans le cas f(0)=0. Je vérifierai le tien aussi!
Merci elhor; ce n'est pas tous les jours que je rencontre un exo intéressant, que je ne connaissais pas et... que je réussis!
Bravo Camélia 
autrement dit , si est le point fixe de
, prendre
.
ou encore , pour ne pas croire que est toujours décroissant ,
.
(sauf erreur)
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