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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Hyperboloïde

Posté par
Theo92
24-11-22 à 18:16

Bonjour.
Je bloque pour reconnaître la surface dont les équations paramétriques sont les suivantes :
x = acosh(u)cos(v)  ; y = acosh(u)sin(v) ; z = au
pour  -d/a \leq u \leq d/a  et  -\pi \leq v \leq \pi

La figure tracée par Mathematica est un hyperboloïde de révolution à une nappe.
On donne a =2 et d=2
Alors, je ne retrouve pas l'équation    \frac{x^2}{a^2cosh^2(u)} + \frac{y^2}{a^2cosh^2(u)}-\frac{z^2}{a}=1   d'une telle surface car cela me donne    cos^2(v) + sin^2(v) -\frac{z^2}{a}

On demande de passer en cylindriques  (\rho, \phi, z).
Je trouve  \rho =acosh(u) ,  v=\phi   et  z=au

A quoi est égal l'élément de surface dS?

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Posté par
GBZM
re : Hyperboloïde 24-11-22 à 18:22

Bonsoir,

Ça ne serait pas plutôt z=a\sinh(u) ?

Posté par
Theo92
re : Hyperboloïde 24-11-22 à 18:38

Bonjour GBZM. Merci de ta réponse.
En effet, c'est ce qui me paraît bizarre. C'est bien z = a*u dans l'énoncé.
Le graphe est bien un hyperboloïde dans mathematica, mais je ne fais pas le lien avec l'équation paramétrique en cartésiennes.
On demande ensuite de passer en cylindriques, de déterminer le dS (en cylindriques), puis l'aire et le volume intérieur....

Posté par
GBZM
re : Hyperboloïde 24-11-22 à 18:45

Non, ce n'est pas un hyperboloïde. Ce serait un hyperboloïde avec z=a\sinh(u) : l'hyperboloïde à une nappe x^2+y^2-z^2= a^2.

Posté par
GBZM
re : Hyperboloïde 24-11-22 à 18:48

Peux-tu donner ton énoncé exact ?

Posté par
GBZM
re : Hyperboloïde 24-11-22 à 18:50

Il y a une incohérence entre le niveau auquel tu postes et le niveau donné sur ton profil (L1).

Posté par
Theo92
re : Hyperboloïde 28-11-22 à 16:32

Bonjour GBZM,

j'ai rectifié mon profil.

L'énoncé est le suivant :

on donne une surface S dont les équations paramétriques sont les suivantes :

x = acosh(u)cos(v)  ; y = acosh(u)sin(v) ; z = au

pour   -d/a \leq u \leq d/a   et   -\pi \leq v \leq \pi

avec  a,d >0.

1) Il faut donner les équations en cylindriques   (\rho, \phi, z)
 \\ :

je pose   \rho =acosh(u) ,  et par déduction on a  

v=\phi   et  z=au.

On obtient  x = \rho cos(\phi)  ; y = \rho sin(\phi) ; z = au qui sont les équations d'un cylindre.

Est-ce exact?

2) on demande le vecteur  dS en cylindriques, afin de déterminer l'aire et le volume intérieur de S.

Je ne parviens pas à trouver la formule du dS.

Je vous remercie à nouveau pour votre aide.

Posté par
GBZM
re : Hyperboloïde 28-11-22 à 16:52

Première remarque : il n'est nulle part question d'hyperboloïde dans ton énoncé. C'est un élément que tu as ajouté par erreur.

Tu n'as pas l'équation d'un cylindre ! Tu vois bien que \rho n'est pas constant, mais est fonction de u.  Par contre, il s'agit bien d'une surface de révolution.

Tu pourras passé au dS une fois que tu auras rectifié ça.

Posté par
Theo92
re : Hyperboloïde 28-11-22 à 17:04

Merci beaucoup.
Je crois alors que c'est une caténoïde ???
Son intersection avec un plan méridien est une chaînette.

Je vais chercher l'expression du dS (seulement vers 20h).

Posté par
GBZM
re : Hyperboloïde 28-11-22 à 17:08

grosse erreur : tu pourras passer



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