Bonsoir Ramanujan.

1/ Tu prends et pour montrer que , il suffit de prendre deux suites de H qui tendent respectivement vers x et y.
Comme H est un hyperplan (ie un SEV) alors et cette suite converge vers qui, par suite, est un élément de

N.B : ce qu'il y a entre parenthèse ci-dessus en gras montre que cette propriété est valable quel que soit H sous-espace vectoriel de E.

en revanche, pour celle-ci, le fait que H soit un hyperplan est une condition nécessaire en vertu de la co-dimension :

2/  Si on suppose que alors c'est qu'il existe .
Mais comme est un sev de E alors et comme H est de codimension 1 (i.e. admet un supplémentaire de dimension 1) alors et par suite

Pour la 1 c'est ok par contre je crois que vous avez oublié de montrer que est différent de l'ensemble vide.
Comme et que H est un sev donc non vide alors    est non vide.
Ensuite j'ai pas compris le dernier passage pourquoi

La 2 pas compris le dernier passage je vois pas où est-ce que vous montrez :

Pour la question 1 vous avez utilisé : " x est à adhérent à A si et seulement si il existe une suite d'éléments de A convergente de limite x" ?

DOnc mon théorème est faux ? Il vient d'ici : "Soit X une partie non vide . On a équivalence entre a est adhérent à X et il existe une suite (xn) de X qui converge vers a."
http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php?id=13598&idPartie=78803

Sur votre exemple :
X = {1,2,3,4}
T = {X, , {2,4},{2,3},{2,3,4}}
A= {3,4}

Comment vous trouvez l'adhérence de A ? Justement j'aimerais comprendre comment on fait sur un exemple simple.

Merci ça c'est compris.

Par contre j'ai toujours pas saisi la question 2 :

On suppose que alors il existe .

Mais comme est un sev de E alors

Or un hyperplan possède un supplémentaire de codimension 1 qu'on peut noter F dans E :


Comme x est un vecteur de E il appartient soit à H soit à F donc il appartient à F et on note :

On obtient :
Je comprends pas comment obtenir l'inclusion inverse comment montrer que :
?

Tu es d'accord que si  , alors contient strictement .
Mais est un hyperplan : cela signifie en particulier que si un SEV de E contient strictement H, alors c'est E tout entier, il n'y a pas le choix. Donc

AH d'accord vous utilisez une propriété des hyperplan :
"Un hyperplan H de E est un sous-espace vectoriel maximal (pour la relation d'inclusion). Si F est un autre sous-espace vectoriel de E avec H c F, alors ou bien F=H, ou bien F=E."

Vous avez une idée de la démo ?

La démo repose tout simplement sur le fait que, par définition, un hyperplan H est le noyau d'une forme linéaire (pas forcément continue en dim infinie) non nulle sur un EV.
Donc on démontre très facilement que tout supplémentaire de H est de dimension 1.
Donc, un hyperplan H étant donné et x H alors E = H.x
On conclut donc qu'un hyperplan est un élément maximal (pour l'inclusion) de l'ensemble de tous les SEV propres d'un EV.

Ah je vois donc tout élément de E s'écrit de façon unique sous la forme d'un élément de H de dimension n-1 (si E est de dimension n) et d'une droite vectoriel de dimension 1.

Quand on parle d'inclusion c'est par rapport à la dimension alors ?
Il n'y pas de sous espace vectoriel entre l'hyperplan et l'espace vectoriel E car on trouve pas de sous espace vectoriel de dimension compris entre n-1 et n.

Bonsoir,
Si E est un R-ev de dimension finie alors les formes linéaires sont continues et
La question ne se pose qu'en dimension infinie.

Verdurin, sans parler d'adhérence et de topologie, j'arrive pas à comprendre les inclusions d'ensemble en algèbre linéaire.

TOujours pas compris pourquoi :  "Soit H un hyperplan de E alors si F est un autre sous-espace vectoriel de E avec H c F, alors ou bien F=H, ou bien F=E."

Entre E et H il n'y a aucun sous espace vectoriel ? Pourquoi ?

C'est la définition d'un hyperplan : la dimension d'un supplémentaire est 1.
Ce qui veut dire qu'il n'y a pas de place pour un sev entre l'hyperplan et l'espace entier.
Sa codimension serait un entier strictement inférieur à 1, et il n'y a que 0 qui convienne.

On peut voir les choses comme ça : si H est un hyperplan de E et si x n'est pas dans H alors, en désignant par le sev engendré par x, on a
Ce qui revient exactement à dire que H est le noyau d'une forme linéaire.

Merci beaucoup j'ai compris avec l'argument de la codimension

Bonjour
Citation
Attention, c'est faux en général : il est tout à fait possible que x \in \bar A ne soit la limite d'aucune suite de points de A.
Contre-exemple :
X = {1,2,3,4}
T = {X, , {2,4},{2,3},{2,3,4}}
A= {3,4}
adhérence de A = X
2  X
Aucune suite de A ne converge vers 2.

Pour moi peut on prendre comme contre exemple :Q dense dans R ;racine2 dans l'aderence de Q (qui est R )mais il n'existe aucune suite dans Q qui converge vers racine2.

Bonjour kikoking41
Le contre-exemple que j'ai fourni marche parce que l'espace topologique que j'ai cité n'est pas séparé.
Selon ce principe, il faudrait trouver une topologie sur IR non séparée, telle que Q soit dense dedans et qu'on ne puisse trouver aucune suite qui converge vers . Vu mon exemple, cela doit relever de la gageure

Donc a votre avi on ne peut pas trouver un  autre exemple autre que racine2  qui donne un contre exemple pour la topologie usuelle de R

Non donc parce que R est separe pour la topologie usuelle