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Hypothèse de récurrence

Posté par
Modulo2Pi
15-03-19 à 17:57

Bonjour à tous,

J'ai l'exercice suivant à faire (11 du pdf de llg):

On se propose de montrer que tout rationnel de \left]0;1 \right[ s'écrit comme une somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts.

Soit x un rationnel de \left]0;1 \right[ : on peut écrire x=\frac{m}{n} avec m et n des entiers naturels  tels que m<n

On effectue la division euclidienne de n par m : n = qm+r
q\in N^{*}, r \in\left\{0,...,m-1 \right\}

On suppose que x n'est pas l'inverse d'un entier :
a) montrer que x-\frac{1}{q+1} peut s'écrire sous la forme :\frac{m'}{n'},  n\in N^{*},  m\in\left\{1,...,m-1 \right\}

b) En utilisant une hypothèse de récurrence judicieusement choisie, démontrer la propriété voulue

c)Constater que la démonstration précédente fournit en fait un algorithme de décomposition. L'appliquer à x=5/17

J'ai réussi la (a) et j'ai compris, pour la b, que x = 1/(q+1) + m'/n' où  1<m'<m ce qui permet, et redécomposant m'/n' et ainsi de suite, d'avoir un m' = 1 en fin d'algorithme, et donc un x somme d'inverse d'entiers naturels. Je n'arrive pourtant pas à formuler proprement l'hypothèse de récurrence. Pourriez vous m'y aider, sans me donner la solution  ?

Merci !

Posté par
flight
re : Hypothèse de récurrence 15-03-19 à 20:46

salut

pour l'exemple donné tu dois arriver à 5/17 = 1/4 + 1/23 + 1/1564

la recccurence choisie  de la forme   Xn+1 = Xn  -  1/(q+1)  

Posté par
flight
re : Hypothèse de récurrence 15-03-19 à 20:47

apres tu peux t'amuser à programmer cette suite à partir d'un langage appris en cours

Posté par
flight
re : Hypothèse de récurrence 15-03-19 à 20:50

.. une precison le  "q" de   :   Xn+1 = Xn  -  1/(q+1)     reste le quotient de n par m  avec Xn =m/n

Posté par
Modulo2Pi
re : Hypothèse de récurrence 15-03-19 à 22:25

Salut,

L'exemple je ne l'ai pas encore fait. Merci pour les indications sur la récurrence



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