Bonsoir,

j'ai quelques soucis avec l'énoncé mais il se peut que je délire complétement à cause de l'heure tardive auquel cas je compte bien sur l'intervention d'autres aidants pour me corriger.

Tout d'abord : quelle est ta définition d'algèbre ? Est-elle nécessairement associative et unitaire ? Ou bien c'est simplement un anneau qui contient un corps ?

J'ai l'impression que c'est la dernière option : un anneau unitaire qui est aussi un espace vectoriel. On peut peut-être t'aider dans la compréhension en te posant quelques questions subsidiaires :

- où vit ton idéal ? (dans quelle algèbre/anneau)
- peux-tu toujours effectuer la division euclidienne dans ... ? (tu peux montrer que oui, il faut le prouver)

Sinon ta définition c'est pour le sous-groupe engendré par Q (et ici il faudrait employer la notation additive), là on te demande l'idéal engendré par Q ! Dans ce cas, cet idéal c'est juste tous les multiples de Q par ...

Merci pour votre réponse.

La définition d'une algèbre donnée dans mon cours est :
( A,+,x, • ) est une K-algèbre si
- (A,+,x) est un anneau
-(A,+,•) est un K-espace vectoriel
- x et • vérifient la propriété d'entrelacement ( λ•x)y = x(λ•y) pour x,y dans A et λ  dans K.

Avec le fait que, dans l'exercice, A est une algèbre commutative intègre on peut montrer que A est un corps. Peut-être peut-on alors considérer A[X] ?

Effectivement, j'ai confondu sous-groupe engendré par un élément et idéal engendré par un élément…

Exactement ! Je suis content que tu aies pu remarquer ce fait. On peut tout à fait considérer A[X] qui est alors euclidien et tout ce que tu as dit me semble justifié. Maintenant que tu t'es rendu compte de la confusion sous-groupe/idéal engendré par une partie, as-tu encore des difficultés ?

Remarque sur ton premier message : Ia n'est jamais l'ensemble vide puisqu'on veut montrer que c'est un idéal. En particulier, il contient un élément important de A[X]...

Dans A[X] on a tout de suite (X-a) qui est dans I_a et le reste de la démo est bien plus intuitive que ce que j'avais fait initialement.

Oui merci, ces notions d'idéal, d'ensemble engendré sont plus claires pour moi maintenant.

Dernière question : du fait que A est donc un corps on peut appliquer directement la division euclidienne des polynômes ou faut-il apporter des justifications supplémentaires ?

Est-ce l'énoncé exact, recopié au mot près ? Je le trouve surprenant... en effet, X-a sera l'unique polynôme unitaire irreductible qui va engendrer ton idéal. Je ne comprends pas le but de l'exercice, le seul point intéressant est de montrer que A est en réalité un corps.

Oui, c'est un résultat classique d'algèbre : si R est un anneau (unitaire), alors l'anneau de polynômes R[X] à coefficients dans R est euclidien si et seulement s'il est principal si et seulement si R est un corps. Tu as dû voir quand dans R[X] lorsque R est intègre (on ne suppose pas que c'est un corps maintenant), on a toujours une "pseudo division euclidienne". On sait diviser par un polynôme si le coefficient dominant est inversible.

Mais peut-être que tu n'es pas au courant de ceci et que le but de l'exercice est de tout démontrer à la main ? C'est pourquoi je te demande si tu as tout bien recopié, je ne vois pas trop où veut aller cet exercice.

En effet excusez moi j'ai omis ce petit détail qui a en fait toute son importance :

I_a = { polynômes P DANS R[X] tels que P(a) = 0 }.

Par conséquent je pense que considérer A[X] n'était pas le but de l'exercice. Je pense que ma démo initiale avec un polynôme Q dont on ne connaît pas la forme explicite doit marcher non ? Dans tous les cas ces réflexions sur les corps, les polynômes et les anneaux m'ont dépoussiéré quelques souvenirs, ça fait du bien.

salut

AlexQuiFlex : merci pour ton commentaire et pour ton admissibilité et courage pour les oraux.

je n'étais pas intervenu plus tôt car d'une part Rintaro était intervenu avant et d'autre part tout comme lui je ne comprenais pas cet exo du fait de cet énoncé imprécis ...

et je remercie Rintaro d'avoir insisté car ainsi quand tu rappelles la définition d'une K-algèbre A je vois tout de suite deux objets :

l'objet K : qui est-il ?
l'objet A : tu le définis à partir de l'objet K

et je n'en voyais pas dans ton énoncé ... bien que ça me semblât "évident" que l'idéal était mal défini ... car j'aboutissais à la même conclusion que Rintaro

une analogie avec R et C :

dans R[x] l'idéal "annulateur de i" est (x^2 + 1)R[x]
dans C[x] c'est évidemment (x - i)C[x]

Bonsoir,

On n'a toujours pas d'énoncé complet. Qui est ce "R" ? Le corps des réels ? A est alors une R-algèbre ?

Le corps des réels

Et est une -algèbre intègre commutative de dimension finie sur , donc est ou , c'est ça ?
Plutôt que de nous obliger à te tirer les vers du nez, donne-nous s'il te plait une énoncé complet ...

Pardon, l'énoncé complet est :
Soit A une R-algèbre commutative intègre de dimension finie n>=2. Pour tout élément a dans A on pose l'idéal I_a= { polynôme P à coefficients réels tels que P(a) = 0 }. Montrer que I_aest engendré par un polynôme irréductible. Montrer en outre que A est isomorphe au corps des complexes.

L'énoncé ne mentionne aucunement le fait que A est le corps des réels ou celui des complexes.

Ne vous faite pas de soucis, Rintaro m'a bien débloqué et m'a permis de me mettre au clair avec les ideaux.