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Idéal maximal
Bonjour à tous,
J'ai un exercice que je trouve des difficultés à le faire, si quelqu'un pourrait me donner une piste ça me permet d'avancer beaucoup. Merci d'avance
Soit A un anneau commutatif non nul
Posons N={a dans A tq a est nilpotent }
a/montrer que N est un idéal de A
b/montrer que N est un idéal maximal si et seulement si tout élément de A est soit nilpotent soit inversible
Pour le a/ c'est évident il faut juste vérifier les différents étapes pour montrer que N est idéal et penser à utiliser la formule de binôme.
Pour le b/ j'ai pas vraiment une idée.
Merci
Indication :
1) un élément de A est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.
2) les éléments nilpotents appartiennent à tous les idéaux premiers, donc à tous les idéaux maximaux.
Si j'ai bien compris qu'est ce que vous voulez dire alors si a est inversible alors à n'appartient pas à N d'où N est maximal
Mais dans l'autre sens si N est maximale alors a est soit inversible soit nilpotent ?
Si j'ai bien compris qu'est ce que vous voulez dire alors si a est inversible alors à n'appartient pas à N d'où N est maximal
Ca me paraît un raisonnement qui ne tient pas debout.
Essaie de construire un argument un peu plus solide !
Un idéal M est maximal s'il n'existe pas d'idéal N dans A tq M inclus dans N
Si M est un idéal maximal d'un anneau commutatif alors M est un idéal premier
C'est ça ce que j'ai comme définition
Dans un sens : si N est maximal, peut-il y a voir d'autres idéaux maximaux ?
Dans l'autre sens, c'est assez facile.
Un idéal M est maximal s'il n'existe pas d'idéal N dans A tq M inclus dans N
Cette définition a quelques défauts :
1°) un idéal est toujours inclus dans lui-même.
2°) l'anneau lui-même est un idéal qui n'est inclus strictement dans aucun autre, mais ce n'est pas un idéal maximal.
Une définition plus correcte : un idéal maximal est un idéal propre (ne contenant pas 1) et qui n'est inclus strictement dans aucun idéal propre.
Pourquoi n'essaies-tu pas de répondre à ma question :
"Dans un sens : si N est maximal, peut-il y a voir d'autres idéaux maximaux ? "
Je te rappelle
"les éléments nilpotents appartiennent à tous les idéaux premiers, donc à tous les idéaux maximaux."
Un tout petit peu de réflexion, et ça ira mieux.
Bonjour,
Montrons (au moins) l'autre sens : Supposons que tout élément de est soit nilpotent, soit inversible. Soit
un idéal incluant strictement
. Il existe alors
nécessairement inversible dans
et donc tel que
(vu que
est un idéal de
). Partant
, de sorte que
est bien maximal dans
.
Bonne journée !
Bonjour ,
Merci beaucoup pour votre réponse ThierryPoma et désolé pour les réponses qui ne sont pas à temps c'est à cause de décalage horaire (je suis au Canada ).
Pour l'autre sens:j'ai supposé que N est maximal donc les seuls idéaux de A contenant N sont N et À mais je vois pas comment montrer que a est soit inversible soit nilpotent.
Merci
Bonjour
On se place dans $\R^2$ muni de la multiplication coordonnée par coordonnée. L'idéal $\R\times \{0\}$ est maximal (pourquoi?) L'élément $(0,1)$ est-il inversible? nilpotent?
Salut Camelia, je ne comprends pas très bien ce que ta question a à voir avec le problème.
@meryemty : pour la troisième fois, je te pose la question : si N (l'idéal des éléments nilpotents de A) est maximal, peut-il y avoir d'autres idéaux maximaux ?
Je veux bien t'aider, mais il faudrait que tu y mettes un peu du tien !
Une nouvelle fois, je te rappelle :
Les éléments nilpotents appartiennent à tous les idéaux premiers, donc à tous les idéaux maximaux.
Quand tu auras répondu à ma question, tu pourras voir si un élément qui n'est pas dans N est inversible. (Nouveau rappel : un élément de A est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.)
@Recomic35 : Je suis heureux de te lire sous un nouveau pseudo. Bonjour à Camélia également. Si j'ai bien compris ta question, tu demandes à notre initiateur si est l'unique idéal maximal de
?
D'autre part, tu penses que
est connu de notre initiateur ?
Bonjour Recomic35,
Dans mes notes de cours,j'ai seulement maximal entraîne premier mais l'autre sens non!
Je sais que N est l'intersection de tous les idéaux premier de A???
Tout ce que tu as à voir ici, c'est qu'un élément nilpotent appartient à tout idéal maximal (sachant que tout idéal maximal est premier, ce n'est pas trop dur !).
C'est, encore une fois, l'indication que je t'avais donnée dès ma première réponse :
Les éléments nilpotents appartiennent à tous les idéaux premiers, donc à tous les idéaux maximaux.
Quand vas-tu enfin te décider à te retrousser les manches ?
Tu attends que Thierry Poma te fasse aussi l'autre implication ?
Non pas de tout, j'attends personne me donné là réponse, mais il y a des choses qui vous paraît évidentes mais pour moi non,j'ai essayé mais je suis pas arrivé.
Merci en tout cas
Si tu ne fais pas vraiment d'effort, tu n'y arriveras pas, c'est sûr.
Tu n'as pas montré beaucoup d'effort dans ce fil.
Par exemple, montrer que si est un idéal premier de
et
un élément nilpotent de
, alors
, as-tu essayé ?
Oui,en effet si X est nilpotent alors il existe n tq x^n=0=x.x.x.....x n fois, il est donc éléments de P qui est un idéal premier donc l'un des termes de ce produit appartient à P donc x appartient à P
Bon, c'est déjà un pas de fait.
Ceci étant acquis :
- montrer que N est contenu dans tout idéal maximal de A
- en déduire que si N est maximal, alors c'est le seul idéal maximal de A
Ensuite : sais tu montrer que si un élément a de A n'est dans aucun idéal maximal de A alors, il est inversible ?
Et peux-tu conclure finalement que si N est maximal, alors tout élément de A qui n'est pas dans N est inversible ?
Mais si a est inversible alors a n'appartient pas à N qui est maximal par hypothèse, mais moi je veux montrer que a est soit nilpotent soit inversible, donc il faut que je considère un a quelconque
Ca bugge
Peux-tu montrer :
- en déduire que si N est maximal, alors c'est le seul idéal maximal de A
Je trouve que N est le seul idéal premier puisque N est inclus dans P et N est maximal alors tout premier est égal à N
OK merci beaucoup, moi je suis tellement stressé que je capote,j'ai un examen demain et je suis bloqué, merci encore
Pour finir.
1°) est contenu dans tout idéal premier de
, donc dans tout idéal maximal de
.
En effet, soit un élément nilpotent de
, et soit
un idéal premier de
. Il existe un entier naturel
tel que
, donc
puisque
est premier.
2°) Supposons à partir de maintenant que est maximal. Soit
un idéal maximal de
. Alors, d'après 1°)
et donc
puisque
est maximal. On a montré que
est le seul idéal maximal de
.
3°) On sait que est le seul idéal maximal de
. Soit
. Alors ou bien
et
est nilpotent, ou bien
et alors l'idéal
est égal à
puisqu'il n'est contenu dans aucun idéal maximal de
; dans ce cas, il existe
tel que
et
est inversible.
meruemty, j'espère pour toi que tu seras plus en forme pour ton examen !
Hello,
Merci infiniment Recomic35,vous m'avez inciter à faire beaucoup de réflexion
Le point qui m'a empêché de conclure c'est premier donne maximal ce qui n'est pas toujours vrai
Le point qui m'a empêché de conclure c'est premier donne maximal ce qui n'est pas toujours vrai
Tout ce qu'on utilise ici, c'est qu'un idéal maximal est premier, et ça c'est toujours vrai.
Bonsoir,
@Meryemty :
Suite à la sublime démonstration proposée le 19-02-16 à 09:33 par Recomic35, saurais-tu expliquer la partie en italique ci-dessous ? Cela te fera un bon exercice de conclusion.
est contenu dans tout idéal premier de
, donc dans tout idéal maximal de
.
Hint : Tenir compte du message du 19-02-16 à 19:15...
Bonne soirée !
Bonjour,
Je vois que c'est très intéressant de trouver une explication à cette implication mais puisque j'ai d'autres examens cette semaine, je vais réfléchir à ça plus tard.
Mais aussi si quelqu'un a une petite preuve peut être ça peut aider d'autres personnes.
Merci
L' "explication" n'a rien à voir avec l'algèbre commutative, mais tout à voir avec la logique de base. Si la logique de base te fait défaut, tu auras des problèmes dans tous tes examens. Tu ferais donc mieux d'y réfléchir avant.
Tous les félins ont quatre pattes.
Tous les chats sont des félins.
Donc tous les chats ont quatre pattes.
C'est exactement ce type de raisonnement que tu ne comprends pas : remplacer "avoir quatre pattes" par "contenir N", "félins" par "idéaux premiers", "chats" par idéaux maximaux".
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