Bonjour

C'est correct mais vraiment trop compliqué! et la démonstration s'écrit de manière beaucoup plus aisée!

Sais-tu qu'un idéal est maximal si et seulement si est un corps? Si oui, cherche . Sinon, montre que tout idéal qui contient strictement doit contenir et donc être égal à

Bonsoir Camélia,

Merci pour la démo plus courte.

N'étant pas très familier avec les anneaux quotients j'ai décidé de montrer ton autre suggestion, voici ce que j'ai fait:

Supposons non maximal.
Alors tq et idéal de .

tq avec , .

idéal de est un sous-groupe additif de , . (1)

Soit , son terme constant est pair d'où et à fortiori .
et d'après (1), .

D'autre part idéal de , .
Et comme alors , c'est-à-dire .
Donc ce qui est impossible car on a supposé .
Cette contradiction nous permet de conclure, par l'absurde, que est un idéal maximal de .

Est-ce correct ?

Bonsoir,
Oui, c'est correct.

salut

bof pourquoi supposé J <> Z[x]

I non maximal ==> il existe J idéal contenant I donc il existe P ....

...

donc J contient 1 donc J = Z[x]

donc I est maximal

Bonsoir carpediem,

je ne connais pas la notation <> et d'autre part je ne saisi pas ce que tu veux me faire comprendre.

Merci pour la réponse Marmelade.

<> :: différent

revois la définition :: un idéal est maximal s'il n'est contenu que dans deux idéaux :: lui-même et Z[x]


il suffit donc de considérer un idéal J contenant strictement I et puisque tu montres que c'est Z[x] c'est fini ....

Ah d'accord !!

C'est mieux comme suit ?

Soit un idéal de tq .

tq avec , .

idéal de est un sous-groupe additif de , . (1)

Soit , son terme constant est pair d'où et à fortiori .
et d'après (1), .

D'autre part idéal de , .
Et comme alors , c'est-à-dire .
Donc ce qui est implique que .

Conclusion: Il n'existe pas d'idéal contenant autre que et lui-même, autrement dit, est maximal.

Pour la suite je me demandais, si un anneau est principal, est-ce que tous ses idéaux seront forcément principaux ?

Oui c'est la définition d'un anneau principal ...

Ah ok

j'avais en tête anneau engendré par un seul élément.

Tout anneau est engendré (en tant qu'idéal) par n'importe lequel de ses éléments inversibles.

Donc si on exhibe un idéal qui n'est pas principal alors cela suffit à montrer que n'est pas principal ?

Dans ce cas il semblerait que ne soit pas là par hasard... :p

On peut montrer que est engendré par et je suppose, je vais essayer de le montrer.

je n'ai plus de résultat en tête

mais il semble bien que I = (2, X) (idéal engendré par 2 et X) donc n'est pas principal ...


pour revenir à ta démonstration tu peux conclure dès que tu as montré que 1 est dans J

tu as dit que J est un idéal au début et tout idéal qui contient 1 est l'anneau entier ...

D'accord, merci pour toutes ces précisions !

de rien

Et en fait tu peux remarqué que tout ce que tu as fait avec 2 est valable pour n'importe quel nombre premier : (p,X) est maximal et n'est pas principal..

Soit l'idéal de engendré par et par .
Montrons que :

.
Comme et appartiennent à et que est un idéal, on a .

Réciproquement, soit .
Alors, avec donc .
On a donc et finalement .

Conclusion: n'est pas principal car engendré par deux éléments et donc n'est pas principal car un de ses idéaux ne l'est pas.

Est-ce correct ?

remarquer* pardon.

Comment tu vois ça Reti ?

Ta démonstration n'est pas complete, le fait de remarquer que ton idéal est (2,X) ne prouve pas qu'il n'est pas principal, il faut que tu prouves qu'il n'existe pas de f tel que (2,X)=(f), ce qui n'est pas bien dur, mais c'est le point qui est important.

Ah oui en effet !

Supposons qu'il existe tq .
Alors et tels que et .
entraîne que le degré de est nul et entraîne que .
Donc , ce qui est impossible car il existe des polynômes de qui ne sont pas dans comme par exemple .
On a donc montré par l'absurde que n'est pas principal.

Du coup la démo comme quoi ne devient-elle pas superflue ?

J'ai du mal pour la question 2) aussi

c'est clairement donc l'anneau quotient est .
C'est un anneau intègre donc est premier.

C'est notre fameux . Cependant je n'arrive pas à définir l'ensemble pour voir s'il est intègre ou non...

merci d'avance pour votre aide !

Non, Z[X]/I_1 c'est 0 donc I_1 n'est pas premier (mais je pense que c'est une faute de frappe).
Pour I_n, regarde l'application de Z[X] dans Z/(n) qui a f associe f(0) mod n.

Note que tu as deja montrer que I_2 etait maximal donc le quotient Z[X]/I_2 est automatiquement intègre.

une remarque :: il serait bien de travailler sans la variable x ::

Citation :
Supposons qu'il existe tq .

Bonjour,

Merci carpediem pour la remarque sur la notation !

Sinon est-ce que quelqu'un peut me dire si la démo cinq posts plus tôt est bonne et répondre à la question sur l'utilité de montrer que ?

Désolé Marmelade mais j'ai du mal à comprendre comment marchent les espaces/groupes/anneaux quotient.
Déjà c'est bien , j'ai écris n'importe quoi...
Je ne comprends pas pourquoi tu dis qu'il n'est pas premier. Est-ce parce qu'il faut au moins deux éléments pour pouvoir parler d'anneau intègre ?

D'autre part, je ne connais pas le résultat que tu utilises dans le post qui suit. Tu veux dire que tout idéal maximal donne un anneau quotient intègre ?

tu démontres que

1/ I = (2, x)
2/ I n'est pas du type (P)  _{^{et 1/ permet de prouver 2/ simplement sur "une base" de I}}

donc I n'est pas principal
donc Z[x] n'est pas principal



un idéal premier est l'analogue des nombres premiers dans Z  :: si n est premier alors Z/nZ est intègre

de même ici :: si I est un idéal premier alors Z/I est intègre (et même un corps)


on te demande donc de généraliser à I = (n, x)

et si n = ab alors dans dans Z[x]/I : cl(a).cl(b) = 0

....

Z[x]/(2, x) = Z/2Z ....

Bon alors quelques precisions.
Tu n'as pas besoin de remarquer que I=(2,X) pour prouver qu'il n'est pas principal.
Un ideal premier est par definition un ideal qui donne un quotient intègre. Par convention l'anneau nul n'est pas intègre (c'est a rapprocher du fait qu'on ne veut pas que 1 soit premier pour des raisons d'unicité de decomposition), on a de bonnes raison de faire ce choix. Un définition equivalente est de dire que le complementaire de l'ideal est stable par multiplication.
Ensuite le quotient d'un anneau par un ideal premier n'a aucune raison d'etre un corps, l'ideal (X) dans Z[X] est premier, le quotient Z[X]/(X)=Z qui n'est pas un corps.
Un ideal qui donne un corps, par quotient, est appelé un ideal maximal (je rappelle que, par convention toujours, dans un corps 0 est different de 1 de sorte que l'anneau nul n'est pas un corps). Un définition equivalente est "un ideal maximal est un ideal propre, maximal parmi les ideaux propres" (d'où le nom), il est la encore facile de s'assurer de l'équivalence des deux definitions (par exemple par ce qu'il y a bijection entre les ideaux de A/I est les ideaux de A contenant I)

oui pardon j'ai un peu mélangé ...

I maximal <==> A/I corps ==> A/I intègre <==> I premier

et l'équivalence n'a lieu que lorsque A est principal ....


merci Marmelade  

oui bien sur modulo cet idéal (0) ....

Juste pour clarifier encore, dans un anneau principal un ideal premier non nul est effectivement maximal.
Mais il existe des anneaux non principaux (meme intègres), pour lesquels tous les ideaux premiers non nuls sont maximaux, par exemple Z[1/2+5/2]

Alors voici ce que ça donne:

Deux polynômes et sont en relation (d'équivalence) .
D'où
Soit .
Si :
Cherchons les polynômes qui sont dans la même classe d'équivalence que .
On veut que , cad que .
Or impose que .
Finalement , cad .
est donc isomorphe à .

Cependant je ne vois pas pourquoi tu dis que , d'un côté on a un ensemble d'ensembles de polynômes et de l'autre on a un ensemble d'ensembles d'entiers.

Est-ce que la propriété d'intégrité est "transmise" d'un ensemble à l'autre s'ils sont isomorphes ?

Je te rappelle que si est un morphisme d'anneaux, alors



ici, tu as utilisé une fonction surjective à valeurs dans dont le noyau est ton idéal. C'est ce que je suggérais depuis mon premier post.

Désolé Camelia mais je ne comprends pas ce que tu dis et je ne connais pas le résultat que tu évoques.
Est-ce que tu peux plus détailler ?

Ok marmelade.
Donc comme premier intègre, alors premier est intègre et donc que est premier.
Il reste à traiter le cas non premier du coup je suppose. Je vais continuer de réfléchir.

Pour la notion de quotient, je te déconseille de voir ca comme un ensemble de classes (enfin c'est bien sur la définition usuelle, mais ca n'est pas comme cela qu'il faut y penser, à mon avis). Pour te forger une bonne intuition de ce qu'est un quotient, il faut y penser comme a des relations qu'on ajoute (à un anneau ou un groupe etc...).
Par exemple Z/nZ c'est Z, auquel on a rajouté la relation n=0, de même Z[X]/(f(X)) (où f est un polynome) c'est l'ensemble des polynomes auxquel on a rajouté la règle f(X)=0.
Par exemple Z[X]/X^2+1 c'est l'ensemble des polynomes a coefficients entiers, mais tu as en plus le fait que X²=-1.
De meme pour un anneau quelconque (enfin commutatif unitaire) A et un ideal I de celui ci. A/I c'est A avec la relation en plus i=0 pour tout element i de I.
Ici Z[X]/I_n=Z[X]/(n,Z) tu as rajouté à Z[X] les règles n=0 et X=0.
Donc un polynome somme des a_i X^i est egal simplement à a_0 puisque X (et donc X^i) vaut 0 et a_0 vaut sa classe modulo n, cela t'aidera à voir pourquoi il est clair que Z[X]/(n,X) c'"est" Z/nZ.
Ensuite bien sur il faut démontrer les choses proprement et là l'outil fondamental c'est la propriété universelle du quotient (ce dont a parlé Camélia plus haut) qui n'est en fait qu'une formalisation de cette idée intuitive du fait que l'on "tue les elements de I" que je viens de t'exposer, et qui te dit que se donner un morphisme de A/I dans un anneau quelconque T, c'est la meme chose que ce donner une morphisme de A dans T qui s'annule sur I (si on impose que I=0, il faut bien que son image soit nulle par un morphisme).
J'espere que ca te permettra de mieux comprendre ce qu'"est" un quotient, car la vision classe d'equivalence, si elle permet de construire effectivement la notion de quotient, n'est pas la façon dont on pense à un quotient en pratique (tout comme quand je pense à un réel je ne pense pas à une classe de suite de Cauchy).

Et si n n'est pas premier alors n'est pas intègre et par conséquent n'est pas premier.
Conclusion: L'idéal est premier si est premier.

Est-ce correct ?

J'ai mis du temps mais j'ai tout compris. Merci pour ton explication Marmelade c'était très utile vu que je n'arrivais pas à comprendre exactement ce qu'est un quotient d'ensembles.

Du coup, j'ai répondu à la question et l'exercice est fini, non ?
on a vu que était isomorphe à et donc que était premier si est premier.

n'Est-ce pas ce que je disais à 12h51  (à la fin)

En effet, ce qui indique que j'ai mis beaucoup de temps à comprendre

Merci à tous pour votre aide en tout cas !

de rien