Bonjour dina

Que te dit l'identité de Parseval ?

Kaiser

l'identité de Parseval me dit que

_n|c_n(f)|² = ₀¹|f(x)|²dx

Mais cela ne m'aide pas pour résoudre ce problème. Il doit y avoir un "truc" à voir mais je ne le vois pas

Salut à vous,

kaiser tu penses pas qu'on puisse faire autrement le montrer pour f C1 par exemple et utiliser un coup de densité.

Que vaut , par définition ?

Kaiser

Je dois utiliser l'identité de Parseval pour le résoudre. Je n'ai pas le choix

Salut Cauchy

Si on peut mais ça utilise un résultat qui est tout aussi non trivial !

Kaiser

Voilà ce que vaut c_n(f)


c_n(f)=₀¹f(x)Exp(2inx)dx

Oui bien sur

C'est plus élémentaire avec Parseval on va dire.

dina> alors, à présent, vois-tu quelque chose ? ou pas ?
cauchy>

Kaiser

non, j'ai déjà essayé d'utiliser toutes ces définitions mais ça bloque toujours au moment de passer à la limite. Je trouve toujours que l'intégrale est égale à au lieu de 0...

Si on considère l'intégrale de Lebesgue on peut faire pour les indicatrices puis étagées puis par densité aussi

Cauchy> c'est vrai !
dina23> pourquoi la limite serait égale à l'infini ?

Kaiser

dina excuse moi la pollution de ton topic j'ai toujours tendance à pas suivre les indications des énoncés

pas égale à l'infini pardon (quoique dans mes multiples essaies j'ai bien dû trouver cette réponse...) mais en tout cas pas 0.

Cauchy> c'est pas bien !
dina> l'identité de Parseval te dit qu'une certaine série converge, donc que peux-tu en déduire ?

Kaiser

l'identité de Parseval me dit que |c_n(f)|² converge mais si je remplace c_n par sa définition je ne retrouve jamais l'intégrale qu'on me demande de prouver... Je cherche peut-être trop compliqué.

si une série converge, que peut-on dire de son terme général ?

Kaiser

que sa limite est 0. Je commence à entrevoir une réponse mais pour l'instant je trouve une division par 0...  

ah bon ! Quelle division par 0 ?

Kaiser

quand je somme mes Exp, j'obtient 1/1-exp(-2ix) ce qui peut donner si je me trompe pas une division par 0

Pourquoi tu veux sommer ça et surtout comment tu te retrouves à faire ce genre de somme ?
Ici, on a bien une série convergente ? Quel est son terme général ?

Kaiser

je trouve |f(x)|²|exp(-2inx)|²dx. Ensuite je ne m'occupe plus que de la somme dont le terme principal est |exp(-2inx)|² et qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Attention tout de même :



donc tu auras du mal à faire rentre la somme sous l'intégrale.

De plus, ne tend vers 0 car c'est de module 1.
C'est beaucoup plus bête que ça.
Regarde :

L'égalité de Parseval nous dit que la série de terme général converge donc ...

Kaiser

donc |f(x)exp(-2inx)dx|²=0 quand n tend vers l'infini.
Comme on a que exp(-2inx)=cos(2nx) on a que |f(x)cos(2nx)dx|²=0.
Et donc c_n(f)=f(x)cos(2nx)dx =0 quand n tend vers l'infini.
C'est ça ?

Pour la première ligne c'est OK !
Donc on sait que tend vers 0 lorsque n tend vers ou vers .
Ensuite, pour pouvoir passer au cosinus (c'est faux lorsque tu dis que l'exponentielle est un cosinus), utilise les formules d'Euler !

Kaiser

Merci beaucoup et désolée pour le retard dans mes remerciements (problème avec ma connexion Internet...). Bonne journée

Mais je t'en prie !
_{aucun problème}