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identité remarquable avec une puissance non entière

Posté par
ttcmath 20-05-23 à 17:51

Bonjour je me permets de vous demander votre aide,
je dois montrer dans une partie d'un exercice que :

\forall s \in ]0;1/2[, \quad (a+b)^s<a+b \quad avec \quad (a,b)\in \mathbb(N^*)^2.
Avez vous des pistes ou idées rien n'a aboutit pourtant je sens que c'est une astuce plutôt simple mais qui ne me vient pas en tête ...

Posté par AitOuglifre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 18:13

Bonjour
Même avec un bête encadrement? \frac{1}{\sqrt{a+b}} <1...

Posté par AitOuglifre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 18:22

Tu sais que e^x >1 pour tout réel x strictement positif?

Posté par
ttcmathre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 18:33

Desole , faute de frappe ce n'est pas (j+k)^s mais (jk)^s

Posté par AitOuglifre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 18:35

Et de l'autre côté c'est j+k ou jk aussi? Peut-on avoir un énoncé complet?

Posté par
ttcmathre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 19:02

Bonjour je me permets de vous demander votre aide,
je dois montrer dans une partie d'un exercice que :

\forall s \in ]0;1/2[, \quad (ab)^s<a+b \quad avec \quad (a,b)\in \mathbb(N^*)^2.
Avez vous des pistes ou idées rien n'a aboutit pourtant je sens que c'est une astuce plutôt simple mais qui ne me vient pas en tête ...

Posté par
jeansebre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 19:46

Bonjour

- Montre que pour s=1/2, l'inégalité est vérifiée, mais au sens large
- puis que si 0<s<1/2 alors (ab)s< (ab)1/2

Posté par AitOuglifre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 19:51

Posons simplement v(x)=(ab)^s-(a+b). v est dérivable sur ]0;1/2[ et v'(x)=(ab)^s \cdot \ln (ab)>0 sauf éventuellement pour a=b=1, ce qui montre que v est strictement croissante sur ]0;1/2[.
Que dire de v(1/2)?

Posté par AitOuglifre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 19:53

jeanseb, je n'ai pas vu ta réponse, mais je ne m'attendais pas à ta réaction non plus

Posté par
jeansebre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 20:51

AitOuglif @ 20-05-2023 à 19:53

mais je ne m'attendais pas à ta réaction non plus

Que dois-je en déduire?

Posté par
jeansebre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 20:56

jeanseb @ 20-05-2023 à 19:46


- puis que si 0<s<1/2 alors (ab)s< (ab)1/2

... sauf comme l' a dit AitOuglif si a=b=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 20:58

Bonjour,
Il y a une coquille ici :

Citation :
v(x)=(ab)^s-(a+b).
Pas de x à droite du =.

Posté par
ttcmathre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 21:06

Merci beaucoup !!!

Posté par AitOuglifre : identité remarquable avec une puissance non entière 20-05-23 à 22:00

Sylvieg @ 20-05-2023 à 20:58

Bonjour,
Il y a une coquille ici :
Citation :
v(x)=(ab)^s-(a+b).
Pas de x à droite du =.


Ah oui en effet, merci @Sylvieg


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