Bonjour,
Pas trop le temps d'approfondir, mais deux remarques :
L'hypothèse X non nul me semble utile, pour ne pas dire nécessaire si Y est non nul.
On l'a avec l'histoire du vecteur propre.
Ensuite, faire des tentatives avec de petites dimensions peut aider à trouver des pistes.
Déjà, si Le nombre de termes de X et de Y sont connus, on en déduit quelque chose pour M.

Bonjour

Si tu vois les vecteurs colonnes comme éléments d'espaces vectoriels, il existe toujours une application linéaire qui envoie l'un d'eux sur l'autre. Bien sûr, il y a quelques contraintes sur les tailles (les dimensions), mais comme tu parles de vecteurs propres, probablement tout est de même dimension.

Oui, on va faire fit des dimensions (pour alléger les notations).

On note n la taille des matrices colonnes.
les coefficients de M
ceux de Y
ceux de X

On note a le nombre de 0 dans X.

Analyse : On doit avoir, .

Synthèse : En prenant si et sinon, ça devrait marcher.

Bonsoir,
Les matrices colonnes ont la même dimension ?
C'est quoi a ?

Je répète que si X est nul et pas Y alors pas de matrice M.
Il suffit d'utiliser un coefficient non nul de X.

Essaye avec et .

Oui on va dire qu'elles ont la même dimension.

J'ai défini a.

J'ai bien noté qu'il fallait rajouter l'hypothèse X non nul à mon assertion initiale pour qu'elle soit vraie, ça me semblait juste pas utile de le re-préciser après qu'on me l'ai fait remarqué.

J'ai déjà utilisé un (des) coefficients non nuls de X.

Mais effectivement y'avait plus simple, on choisit i tel que , on pose , et on prend 0 pour les autres coefficients.

N'empêche que ma matrice précédente devait aussi marcher.