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Ils portent bien leur nom les complexes...

Posté par Sans complexes.. (invité) 23-10-03 à 10:38

Bonjour ça serait gentil si vous pouviez m'aider j'ai po
compri et g du mal avec les complexes...


On donne le polynôme de la variable complexe z
P(z)=(z^3)-(2+3i)z²+(4+6i)z- (12i)

1/Montrer que P(z)=0 admet une solution imaginaire pure ib

2/En déduire une factorisation de P(z) sous la forme
P(z)=(z-ib)(az+bz+c) avec a, b et c des complexes a préciser.

3/Résoudre P(z)=0

4/Ecrire les solutions de P(z)=0 sous forme trigonométrique

Merci d'avance

Posté par Domi (invité)re : Ils portent bien leur nom les complexes... 23-10-03 à 11:18

Bonjour,

1) Calcule P(ib): tu vas obtenir un résultat de la forme A + iB

Pour que P(ib) = 0 , il faut que A = 0 et B = 0

En faisant ainsi, sauf erreur de calcul, tu vas trouver que 3i est une
racine de P(z).

2) Opère comme pour les réels:

P(z) = (z-3i)(az^2 +bz +c)


1ière solution:
---------------

Tu développes le membre de droite et ensuite tu identifies les coefficents
de droite avec ceux de gauche.

=> 3 équations à 3 inconuues a,b et c


2ième solution:
----------------

Si tu imagines le développement du membre de droite: le coéfficient
de z^3 vaut a. Celui de P(z) = 1 => a = 1

Calcule P(0) = -12i = (-3i)(c)  => c = 4

Prend une  autre valeur particulière  de z (simple pour le calcul) par
exemple z = 1

P(1) = (1 - (2+3i) + (4+6i) -12i) = (1-3i)(a+b+c)
Comme a et c sont maintenant connus, tu en déduis b

3)az^2 + bz +c = 0 => Methode classique par discriminant.

4) Ne devrait pas te poser de problème

A+



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