ça y ressemble beaucoup en tous cas ... il est même peu probable que ce ne soit pas pi ..
après je ne sais pas trop comment le démontrer.

par contre je trouve ta notation ln³(2) un peu abusive !

en tout cas avec WIMS j'ai effectuer jusqu'à 1000 chiffres après la virgules !!
Et à ma grande surprise c'est exactement les meme !!!

ça signifirais que la trigonométrie aurait une issus sur le calcul logarithmique ??

A propos de la notation, mieux vaut

je pense que la calculatrice utilise le ln comme un argument dés qu'il s'agit d'une quatité négative.

Donc à mon sens c'est un peu abusif de parler de logarithme népérien dans ce cas, c'est plutôt l'argument d'un nombre complexe.

exemple lorsque je rentre ln(-2) ma calculatrice répond i*pi+ln(2)

je pense qu'elle fait en réalité :ln(-2)=ln(-1)+ln(2) et qu'elle considère ln(-1) comme arg(-1)=i*pi

je pense que la demonstration doit venir de là :

tan(x)dx = sin/cos dx = --sin/cos dx =
-ln |cos(x)|... (on a une forme f'/f)
mais après...

mais il faut bien avoir en tête qu'en réalité la fonction ln n'est pas déginie pour des valeurs négatives

Si x est un nombre négatif, alors x=-xeⁱ, donc ln(x)=ln(-x) + i

Conclusion : pi est la partie imaginaire de tout log népéreien d'un nombre négatif...

oui et comme ln(ln(2)) est negatif...
Mais pour le rapport à la trigo ?
il ne faut pas oublier que pi est à la base du cercle (ou autre...)

... je ne vois pas ce qu'il y a d'intéressant à en dire... ça vient de la forme polaire des complexes...

Et maintenant la fonction ln admet des valeurs negatives !
ça a changé depuis Riemann !

La notation de ln(2) est Ln(2) si on veut dessiner la courbe !

car sinon il s'agira d'une feuille de Riemann : ln(re^iarg) = ln(r) + i(arg + 2kpi)

Bonjour stokastik,

n'est il pas plus correct de parler d'argument plutôt que de logarithme népérien

car la notation n'est qu'une notation exponentielle (ayant les mêmes propriétés que la fonction exponentielle) mais qui n'est pas réellement la fonction exp.

Tous les nombres transcandant auraient une notation avec des ln ??
e (c'est la base de ln)
pi = Im ( ln(ln(ln(2))) )

etc...

ça simplifirai enormement la demonstration de transcandance des nombres !

Il ne faut pas s'étonner de trouver des relations entre pi et les logarithmes : il y en a beaucoup et bien connues.
Tout s'explique du fait que vous êtes passé sans vous en apercevoir dans le domaine des logarithmes de nombres complexes
ln(2) = 0,693147
ln(ln(2)) = ln(0,693147) = -0,366513
ln(ln(ln(2))) = ln(-0,366513) = (-1,003722 + i*pi) est un nombre complexe car c'est le logarithme d'un nombre négatif.
Sans aller chercher des formules générales bien connues pour les logaritmes complexes, on a des exemples simples :
ln(-1) = i*pi
ln(i) = i*pi/2
etc.
En réalité la fonction ln(z) dans le dommaine complexe est multiforme, donc tout dépend ensuite comment votre calculatrice gère en interne les nombres complexes, mais passons...

C'est ce qu'on vient de dire...
v=ln(ln(2)) est negatif donc Im (v) = pi

ln(z) est une feille de Riemann d'écart 2pi !

Attention, question de définition du logarithme des nombres complexes.

Par définition, le  ln(r.e^(i.alpha)) = ln(r) + i.alpha

On a alors dans le cas qui nous occupe:


ln(ln(2))= -0,366512920582 = 0,366512920582.(cos(Pi) + i.sin(Pi))

ln(ln(2))= -0,366512920582 = 0,366512920582.e^(i.Pi)

ln(ln(ln(2)) = ln(0,366512920582) + ln(e^(i.Pi))

ln(ln(ln(2)) = ln(0,366512920582) + i.Pi

Et la partie imaginaire de ln(ln(ln(2)) = Pi
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Sauf distraction.  

Oups, trop tard.