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Niveau Licence Maths 1e ann
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Image d'un ouvert par f de classe C1

Posté par
raisinsec
12-06-19 à 16:28

Bonjour,
Petite question : Soit f : n n de classe C1 tq detDf(x)0 xn

Je dois montrer que si U est un ouvert den, f(U) est un ouvert. Mais je ne vois pas quel argument je pourrais utiliser. On a juste que f est un difféomorphisme local en tout point de U, et que f est continue donc la préimage d'un ouvert est ouverte. Je sens que ce sont des pièces fondamentales de la preuve mais je n'arrive pas à les utiliser.

Posté par
lemoco
re : Image d'un ouvert par f de classe C1 12-06-19 à 16:31

Salut,
Cela résulte tu théorème d'inversion locale.

Posté par
raisinsec
re : Image d'un ouvert par f de classe C1 12-06-19 à 16:33

Merci pour ta réponse,

Oui c'est un difféomorphisme local pour tout x dans U par le théorème d'inversion locale, mais justement j'ai l'impression d'être aveugle puisque même avec ce fait je ne vois pas quoi faire précisément.

Posté par
lemoco
re : Image d'un ouvert par f de classe C1 12-06-19 à 16:38

Ben prend y dans f(U) et x tel que f(x)=y alors il existe un petit ouvert W contenant x et un petit ouvert V contenant y tel que f induise un difféomorphisme de W sur V qui est donc inclus dans f(U), et f(U) est donc ouvert.

Posté par
raisinsec
re : Image d'un ouvert par f de classe C1 12-06-19 à 16:45

Ah c'est ça que je saisissais pas, l'image de la boule autour de x est incluse dans f(U), je me disais que c'était pas nécessairement le cas mais en fait si si j'ai bien compris.

Merci beaucoup

Posté par
lemoco
re : Image d'un ouvert par f de classe C1 12-06-19 à 16:52

raisinsec @ 12-06-2019 à 16:45

l'image de la boule autour de x est incluse dans f(U)

Il faut plus que ca, le théorème d'inversion locale te dit qu'une petite boule centrée sur x est envoyé "difféomorphiquement" par f sur un ouvert contenant f(x).
C'est la partie soulignée qui est cruciale.

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