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Image d'une droite par une application complexe

Posté par
flo3299 31-12-11 à 21:47

bonjour à tous, j'aurais besoin d'aide pour ce petit problème :

On a l'application suivante  z' = ( z-i)/(zbar +i)

Soit (d) la droite passant par le point A ( 0;1) d'affixe Za=i et dont un vecteur directeur est le wecteur eiPi/6  


Déterminer l'image par l'application f de la droite (d) privée du point A

Merci d'avance

Posté par
dhaltere : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 21:56

L'image est un point unique, d'affixe e^{i\frac{\pi}3}

Posté par
flo3299re : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 22:09

comment le prouves tu ?

Posté par
dhaltere : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 22:15

et toi, quelles armes as-tu ?
comment traduis-tu qu'un point M d'affixe z est sur la droite passant par A d'affixe i, de vecteur directeur \vec w d'affixe e^{i\frac{\pi}6}

Posté par
flo3299re : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 22:20

Que le vecteur AM soit colinéaire à et que M appartienne à la droite y=(1/3)x+1

Posté par
dhaltere : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 22:27

bien, c'est exact.
ce n'est pas la méthode la plus élégante, je t'en montrerai une autre si tu le souhaites, mais maintenant, il te suffit alors de considérer
z'=\frac{z-i}{\bar z+i}, de remplacer z par x+iy
de simplifier un maximum et de trouver le résultat que je t'annonçais.

au boulot, donc, courage, cette méthode est lourde et les erreurs de calcul sont aisées.

Posté par
flo3299re : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 22:52

je trouve z' = ( x2 - (y-1)2 +i(_2x+ 2xy ) ) / ( x2 + (1-y)2 )

Qu'est ce qui me permet de simplifier ??
Merci d'avance

Posté par
flo3299re : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 22:54

C'est bon j'ai trouvé ! il suffit de remplacer le y par ( 1/racine3)x + 1 dans la partie reelle et imaginaire ! merci beaucoup ! quelle était l'autre méthode ?

Posté par
dhaltere : Image d'une droite par une application complexe 31-12-11 à 23:29

tu t'es lancé dans des calculs bien compliqués

z'=\frac{x+iy-i}{x-iy+i}=\frac{x+i(y-1)}{x-i(y-1)} \\ y-1=\frac1{\sqrt3}x

donc
z'=\frac{x+i\frac1{\sqrt3}x}{x-i\frac1{\sqrt3}x}
x se factorise au numérateur et au dénominateur et donc se simplifie

z'=\frac{1+i\frac1{\sqrt3}}{1-i\frac1{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3+i}{\sqrt3-i}

reste à multiplier par la partie conjuguée
z'=\frac{(\sqrt3+i)²}{3+1}=\frac{3+2\sqrt3-1}{4}=\frac12+i\frac{\sqrt3}2=e^{i\frac{\pi}3}

quelle était l'autre méthode ?
la même, mais en exprimant tout sous forme de nombres complexes (c'est un peu de vérité, un peu d'humour)

un point M d'affixe z est sur la droite passant par A d'affixe i, de vecteur directeur \vec w d'affixe e^{i\frac{\pi}6}

Vectoriellement, cela donne
il existe un réel r tel que \vec{AM}=r\vec w

or l'affixe de \vec{AM} est z-i

donc sous forme complexe :
il existe un réel r tel que z-i=r e^{i\frac{\pi}6}

que devient alors :
z'=\frac{z-i}{\bar z+i}

remarquons que \bar z+i=\bar{z-i}

et donc quand z-i=r e^{i\frac{\pi}6},\quad\bar{z-i}=r e^{-i\frac{\pi}6}

donc
z'=\frac{r e^{i\frac{\pi}6}}{r e^{-i\frac{\pi}6}}=e^{i\frac{\pi}3

terminé
si tu as des questions, je reste à ta disposition.

Posté par
flo3299re : Image d'une droite par une application complexe 01-01-12 à 11:07

Merci beaucoup !


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