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Image d'une intervalle par une fonction continue

Posté par
Mathes1 14-10-20 à 14:32

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
On considère les fonctions numériques f et g définie sur IR par:
f(x)=sin(x) et g(x)=(x-1)2
1) montrer que f et g sont continue sur
2) Déterminer f() et f( [-\dfrac{\pi}{4};[) puis vérifier qu'ils sont des intervalles de .
3) Déterminer g([1;+[) et g([1;2])
Et g(]0;3[) puis vérifier qu'ils sont des intervalles de.
--------------------------------------------
Je propose ;
1) on a f(x)=sin(x) et g(x)=(x-1)2
* f est continue sur son domaine de définition alors continue sur IR
*g est continue sur son domaine de définition alors continue sur IR
D'où f et g continue sur IR
(Les fonctions f et g sont des fonctions usuelles)
2) f(IR)=f(]-;+[) =]\lim_{x\to -\infty} f(x);\lim_{x\to +\infty} f(x)[=IR
*f([-π/4;π[)=[sin(-π/4);\lim_{x\to \pi}sin(x)[=
[-\dfrac{\sqrt 2}{2};0[
Merci beaucoup d'avance

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 14:42

Bonjour

1 Oui ce sont des fonctions usuelles

2 entre quelles valeurs varie la fonction sinus  ? f(\R) n'est pas \R

\dfrac{\pi}{2}\in\left[-\dfrac{\pi}{4}~;~\pi\right] donc intervalle image  faux

regardez les courbes

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 14:53

D'accord merci beaucoup
2) la fonction sinus varie entre -1≤sin (x)≤1
Une petite indication s'il vous plaît pour calculer f(IR)
f( [-π/4;π[) =\green{[\dfrac{-\sqrt{2}}{2};0[}
[-0,70;0[ [-1;1]

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 15:02

f(\R)=[-1~;~1]

Si vous prenez un nombre A appartenant à [-1~;~1] il existe un \theta tel que f(\theta)=A

en dehors  il n'y en a pas

f\left(\left[-\dfrac{\pi}{4}{;~\pi\right]\right)= \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~1\right]

\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1  donc 1 doit faire partie de l'ensemble image

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 15:28

2) => on remarque que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle .
3) g([1;;+\infty[)=[g(1);\lim_{x\to +\infty}(x-1)²[=[0;+[
g([1;2])=[g(1);g(2)]=[0;1]
{\color{red}{\huge g(]0;3[)=]\lim_{x\to 0}(x-1)²;\lim_{x\to 3}(x-1)²[=]0;4[}}
Merci beaucoup

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 15:47

Pourquoi cette écriture  ?

  l'image de [1~;~+\infty[   est [0~;~+\infty[ oui

L'image de [1~;~2] est [0~; ~1]  oui

\displaystyle \lim_{x\to 0} g(x)=g(0)=1 Mais la réponse finale est correcte car la fonction g admet un minimum égal à 0 en 1

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 19:22

Bonjour
Donc g(]0;3[)=]1;4[
Merci beaucoup

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 19:32

Non  je vous ai dit que la réponse finale était correcte   g(]0~;~3])= [0~;~4]
sans faire attention au sens des crochets

La justification ne l'était pas

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 19:39

hekla @ 14-10-2020 à 15:02

\\ \\ [tex] f\left(\left[-\dfrac{\pi}{4}{;~\pi\right]\right)= \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~1\right]
je ne comprends pas pourquoi cette intervalle égale à [+√2/2;1] et non [-√2/2;0]

Et je comprends pas aussi g[0;3]=[0;4] et non [1;4]
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 19:41

hekla @ 14-10-2020 à 15:02


f\left(\left[-\dfrac{\pi}{4}{;~\pi\right]\right)= \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~1\right]

Je suis très désolé

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 20:05

Pourquoi aucune raison

pour f   sa courbe Image d\'une intervalle par une fonction continue

vous voyez bien que les images se répartissent sur l'intervalle \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ~; ~1\right]  intervalle fermé puisque les valeurs sont atteintes

Pour g idem  les valeurs appartiennent bien à  l'intervalle [0~;~4] fermé aussi
  Image d\'une intervalle par une fonction continue

l'image de l'ensemble de définition  est comprise  entre les lignes rouges

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 20:17

Bonjour
f([-π/4;π])=[sin(-π/4);sin(π)]=
[- \dfrac{\sqrt 2}{2};0]
g[0;3]=[g(0);g(3)]=[(0-1)2; (x-3)2]=[1;4]

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 20:29

Non  vos fonctions ne sont pas strictement monotones sur [a~;~b]   Donc il faut bien découper sur des intervalles où elles le sont

Si les fonctions étaient strictement croissantes   sur [a~,~b] vous pourriez dire que f([a;~b]= [f(a)~;~f(b)]

Posté par
alb12re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 20:36

salut,
mon intervention est un peu cavaliere mais je m'etonne qu'on ne fasse pas appel à un tableau des variations pour repondre à ce genre de question.

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 20:39

Pour alb12 Bonsoir
C'est peut-être un exercice avec prise d'initiatives

Posté par
alb12re : Image d'une intervalle par une fonction continue 14-10-20 à 21:17

oui disons qu'on ferait ainsi en seconde alors en terminale ...

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 13:41

Bonjour à tous
Voici la solution proposé par mon prof

Citation :

f( [-π/4;π[) =\green{[\dfrac{-\sqrt{2}}{2};0[}
g(]0;3[)=[0;1[]1;4[

Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 14:09

pour g c'est faux (l'image d'un intervalle est un intervalle)

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 14:23

Vous pourrez dire  que ses solutions sont fausses

  Il est surprenant que l'image de \dfrac{\pi}{2}  par f c'est-à-dire 1 ne fasse pas partie de l'ensemble image

La réponse n'est que l'ensemble image de \left[-\dfrac{\pi}{4}~;~0\right]

Il est aussi surprenant  que 1 n'appartienne pas à l'ensemble image  
que vaut g(2) par exemple ? Sans compter évidemment l'argument d'alb12

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 14:34

Bonjour à tous
D'accord merci beaucoup à vous deux
Donc la réponse de mon prof est fausse
g(2)=1

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 14:37

Oui les deux réponses sont fausses

g(2)=1  donc comment 1 ne pourrait-il pas être dans l'ensemble image ?

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 14:50

Bonjour,
Merci beaucoup
Je ne sais pas pourquoi

Posté par
heklare : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 14:58

IL fait nécessairement partie de l'ensemble image  donc l'exclure est une erreur

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 15:00

D'accord merci beaucoup.

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 15:23

Bonjour à tous
Si vous voulez intervenir ici Le Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)
Je vous remercie beaucoup !

Posté par
alb12re : Image d'une intervalle par une fonction continue 18-10-20 à 17:53

\\ \left(\begin{array}{cccccc} \\ x & 0 &   & 1 &   & 3 \\ \\ g'(x)=(2\cdot (x-1)) & -2 & - & 0 & + & 4 \\ \\ g(x)=(\left(x-1\right)^{2}) & 1 & \searrow  & 0 & \nearrow  & 4 \\ \end{array}\right) \\

g(x) prend ses valeurs dans [0;4[

Posté par
Mathes1re : Image d'une intervalle par une fonction continue 25-10-20 à 16:52

Bonjour
S'il vous plaît , je vous prie , pouvez vous intervenir s'il vous plaît ici si vous voulez Fonction Réciproque 1'
Merci beaucoup


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