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Posté par
matheux14 03-08-25 à 16:08

Bonjour, je regardais cette fiche Ensemble et application (partie II) - Fonction, injection, surjection, bijection au niveau de la propriété du II. Image Directe - Image Réciproque.

Citation :
Soient E et F deux ensembles; A, B deux parties de E ; C,D deux parties de F, et soit f \, : \, E \, \to \, F une application, on a :

f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)


Je ne vois pas le contre exemple (ou la raison) pour laquelle il n y a pas d'égalité.

On a

\begin{aligned} \\ y \in f(A \cap B) &\implies \exists x \in A \cap B \implies x \in A \text{ et } x \in B \text{ (tel que } y = f(x)). \\ \\ &\implies y \in f(A) \text{ et } y \in f(B) \\ \\ &\implies y \in f(A) \cap f(B) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1) \\ \end{aligned}

\red\begin{aligned} \\ y \in f(A) \cap f(B) &\implies y \in f(A) \text{ et } y \in f(B) \\ \\ &\implies \exists x \in A \text{ et } \exists x \in B \text{ (tel que } y = f(x)) \\ \\ &\implies x \in A \cap B \text{ (tel que } y = f(x)) \\ \\ &\implies y \in f(A \cap B) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (2) \\ \end{aligned}

Merci d'avance.

Posté par
matheux14re : Image directe d'ensemble 03-08-25 à 16:29

C'est bon je pense que je l'ai

En prenant la fonction nulle f(x) = 0.

On a f(A) = \{0\} et f(B) = \{0\}

Donc f(A) \cap f(B) = \{0\}même si A \cap B = \varnothing.

Dans ce cas là f(A) \cap f(B) = \{0\}  \not \subset f(A \cap B) = \varnothing.

Il faudrait donc que f soit injective.

Posté par
Rintarore : Image directe d'ensemble 03-08-25 à 20:11

Bonjour matheux14, en effet il est nécessaire et suffisant que f soit injective pour l'égalité.


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