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Image et application linéaire

Posté par
Altruiste21 04-06-24 à 13:36

Bonsoir à tous.
Besoin d'aide pour cet exercice svp

Soit E l'espace des fonctions continues de [0, +∞[ vers IR.
Pour tout f dans E on définit l'application h par h(f) = g avec g(x) =(1/x) \int_{0}^{x}{f(t)}dt  pour x>0 et g(0) = f(0)
Il est question de déterminer l'image de h et je ne vois vraiment pas comment faire ça. On m'a fait comprendre que Imh peut-être l'ensemble des fonctions continue sur [0, +∞[ et dérivable en 0 ou peut-être l'ensemble des fonctions de classe C¹ sur sur [0, +∞[.

Je ne vois pas comment prouver tout celà et surtout comment arriver à un tel résultat

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Image et application linéaire 04-06-24 à 16:35

Bonjour

Il est clair que g est continue, dérivable sur ]0,+\infty[ (si ce n'est pas clair, à toi de réfléchir).

Reste à étudier ce qui se passe en 0_+. Tu peux utiliser une majoration de \int_0^x |f(t)-f(0)|dt.

Posté par
Altruiste21re : Image et application linéaire 04-06-24 à 19:23

Au voisinage de 0, on a
  \int_{0}^{x}{|f(t)-f(0)|} \leq \int_{0}^{x}{|f(t)| + x|f(0)|}.
Maintenant je ne vois pas comment utiliser cette majoration pour la dérivabilité en 0

Posté par
Altruiste21re : Image et application linéaire 04-06-24 à 19:50

Ohlala désolé pour l'omission des "dt" dans les intégrales

Posté par
larrechre : Image et application linéaire 04-06-24 à 21:35

Bonsoir,

Ne peut-on utiliser le théorème de la moyenne (ou le TAF) ?

Posté par
Ulmierere : Image et application linéaire 05-06-24 à 12:08

Si F est la primitive de f qui s'annule en 0, vers quoi tend 1/h * ( F(a+h)-F(a) ) quand h tend vers 0 ? Appliquer en a = 0


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