Bonjour,

on se donne deux espaces topologiques et ainsi qu'une application (ou fonction) . On démontre alors que les propositions sont équivalentes :

f continue l'image réciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X l'image réciproque de tout fermé de Y est un fermé de X

Aucun souci de ce côté. Néanmoins  quelque chose me gêne. Peut-on dire que si on prend une partie A de Y et que son image réciproque par f est un ouvert, alors A est un ouvert ? Je me pose cette question car dans une démonstration d'une propriété sur la topologie finale d'un espace X, c'est ce que j'ai compris. Je poste cette démonstration au cas où j'ai mal interprété la chose :

"Soit une famille d'espaces topologiques et on se donne pour chaque i I : . On veut munir X de la manière la plus économique possible, d'une topologie rendant continues toutes les .

Là on montre comment former et vient la proposition. On suppose alors que est, dans la suite, la topologie permettant aux d'être continues.

Prop : jouit de la propriété universelle suivante : si est un espace topologique et g une application de X dans Z, g est continue si et seulement si les sont toutes continues.

Démo :

"" OK.

""

Si les sont toutes continues, soit et i I ; ; donc par définition et g est continue. "

En voulant démontrer que si l'image réciproque d'une partie A de Y par f est un ouvert de X,  alors A est un ouvert de Y, je n'arrive pas à conclure. J'ai fait par disjonction de cas.

Si A est un ouvert de Y, c'est tautologique. Si A n'est pas ouvert, alors :

- ça peut être un fermé, donc son image réciproque est un fermé : OK (c'est alors absurde)
- si ce n'est ni un ouvert, ni un fermé : je n'arrive pas à conclure...

Voilà, merci d'avance de vos réponses.