Bonsoir

Est-ce que tu te places en dimension finie ou non?

Bonsoir,
il n'y a aucun rapport entre 1) et 2).
Pour qu'il y en ait il faut préciser ce qu'est f et ce qu'est x.

J'ai f qui va de R^n dans R^n

Bonsoir
f est une fonction continue, je sais qu'il s'agit d'une application propre et on a ce résultat que dans Rn
mais avec toutes les définitions que je connais pour un compact je n'arrive pas à le démontrer

voici l'énoncé exacte

Soient X,Y deux espaces métriques et f de X dans Y une application avec f continue On dit que f est propre si l'image réciproque de tout compact par f est un compact. Lorsque X=Y=Rn, cela revient à  dire que la norme de f(x) tend vers l'infini quand la norme de x tend vers l'infini.

Ok donc tu es dans un ev de dimension finie et alors les compacts sont les fermés bornés

Donc voilà on va faire le sens 2->1
Si K est un compact donc fermé borné, l'image réciproque de K par f est déjà ...

Ensuite pour l'autre caractère, K est borné donc il est inclus dans une boule de centre O et de rayon r. Que veut dire que |f(x)| tend vers l'infini quand |x| tend vers l'infini?

justement j'arrive pas à comprendre ca. comment peut on avoir dans un borné la norme d'une  fonction qui tend vers l'infini

???

On n'a pas dit ça.

Tu as une hypothèse qui dit : Lorsque ||x|| tend vers l'infini, ||f(x)|| aussi.
Maintenant, tu choisis un compact K quelconque.
On te demande de montrer que l'ensemble des x tels que f(x) est dans K est lui aussi compact (c'est-à-dire fermé et borné, dans le cas qui t'intéresse).
Il suffit d'écrire la phrase logique correspondante et de la prouver à l'aide de la contraposée de ton hypothèse.

bonjour,

alors,

on suppose la norme de f tend vers l'infini lorsque la norme de x tend vers linfini

soit K un compact
on travaille da R^n donc les compacts sont les parties fermées bornées
E= f^(-1)(K) = {x telque f(x) appartient à K }

alors il suffit de montrer que cet ensemble est fermé et borné..
K est un commpact de Rn donc K est fermé et borné
on sait que l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue est un fermé.
il nous reste à prouver que cet ensemble est borné..

on suppose que E n'est pas borné alors on a
y x E tq la norme de f(x) > f(M)

je n'arrive pas à trouver la contradiction ni utiliser l'hypothèse..

Si E n'est pas borné, ce sont les x qui ont une norme qui peut exploser... et donc les f(x) aussi par hypothèse.
Or ...

Si E n'est pas bornée alors la norme de x tend vers l'infini et par hypothése la norme de f tend vers l'infini..

or K est un compact donc fermé et borné
contardiction f ne tend pas vers l'infini
donc E est borné

est il bon ?