Bonjour,

un contre exemple, c'est un exemple (ici numérique, une certaine valeur de x) qui montre que visiblement la propriété est fausse.

par exemple a) si x = 3 on a bien x ≥ 3 qui est vrai, par contre x > 3 est fausse
donc l'implication a) est fausse.
etc

Bonjour ,
Pour la c) et la d) essaye aide de la représentation graphique ou fais un tableau de signe de la fonction factorisé.
La e) est est vraie car un entier supérieur à 4 est forcement 5!

Merci mathafou et LeBeauCos.
Je ne comprends pas pourquoi la a) est fausse ( je ne comprends pas ta justification) et LebeauCos, j'ai bien fait le tableau de signes mais en quoi sa m'aidera pour ces 2 propositions ?

regardes si quand tu as  (x-1)(6-x) qui est  positif  , les valeurs de x ne sont elles pas positives ?Je t'aide pour celui-ci : (x-1)(6-x) est positif sur [1;6] donc cet intervalle est bien composé uniquement de x qui sont positifs !

une implication est vraie si elle est vraie quelle que soit la valeur de x

or elle est fausse si x vaut 3
(c'est cela un "contre exemple")

PS : la b est d'ailleurs vraie contrairement à ce que tu croyais,
à toi de le justifier (avec des intervalles et des intersections d'intervalles, un dessin de la droite des réels etc, comme tu veux,
ou en pensant correctement sur ce que veut dire cause et effet, c'est ça une implication : cause effet, pas le contraire)

D'accord, c'est la première fois que je fais des implications donc j'ai du mal :/
LeBeauCos, donc si j'ai bien compris la c) est vraie, j'ai fait de même pour la d) (tableau de signes) mais je bloque à si x = -infini, x + 1 peut être positif et négatif.
mathafou, j'ai noté pour la b) :
Vrai car si x = 4 , x est bien ≥ 3.
Est-ce que j'ai bon ?

pour montrer qu'une proposition est vraie il est impossible de se baser sur un seul exemple, ça ne suffit pas car il faut prouver que c'est vrai quel que soit x et pas seulement pour quelques valeurs, encore moins une seule.

pour montrer qu'une proposition est fausse on peut (il suffit de) exhiber un contre-exemple
on peut aussi utiliser d'autre techniques de raisonnement (vour ci-dessous)

x > 3 représente l'ensemble ]3; +oo[
cet ensemble est inclus dans [3; +oo[ qui est le même ensemble avec en plus l'élément x = 3

si x est un élément quelconque du premier ensemble (x > 3) alors forcément il est dans tout ensemble plus vaste qui contient le premier

d) x = -infini ça n'existe pas
-oo n'est pas un nombre et x ne peut pas être égal à -oo

la d) "Si (x + 1)(6 - x) ≥ 0" veut dire exactement (tableau de signes) : "si x [-1; 6]"

cet intervalle contenant des nombres négatifs, on ne peut pas affirmer que x ≥ 0

on peut aussi bien exhiber un contre exemple x = -1 pour lequel l'expression de départ est nulle (donc bien &ge: 0) alors que ce nombre -1 n'est pas lui-même ≥ 0
on peut choisir comme contre-exemple à exhiber n'importe quelle valeur de l'intervalle [-1; 0[

Désolé mais j'ai du mal à te suivre, l'exercice dit bein que si l'implication est fausse, il faut un contre-exemple et pas d'autres techniques.
Je n'ai pas compris ça : (donc bien &ge: 0) et aussi :  il est dans tout ensemble plus vaste qui contient le premier .

faute de frappe lire (donc bien ≥ 0)

pour "d'autres techniques" c'était "en général" pas forcément pour rédiger l'exo
en tout cas "d'autres techniques" permet de choisir un contre exemple au lieu de chercher au hasard dans l'ensemble de tous les nombres réels ...
ce qui a été fait dans le "ci-dessous" pour choisir le contre exemple x = -1

Merci encore mais comment pourrais-je rédiger que l'implication b) est vraie mais plus facilement ?

comme j'ai dit au début :
l'intervalle ]3; +oo[ (x > 3) est inclus dans l'intervalle [3; +oo[ (x ≥ 3)
donc quel que soit x de ]3; +oo[, alors x appartient à [3; +oo[

sans forcément faire un dessin qui n'est là que pour que tu visualises mieux les ensembles (intervalles) considérés.
et cette notion d'ensembles inclus dans d'autres

si E inclus dans F alors tout élément de E est un élément de F (définition de l'inclusion)

OUI, oui, j'ai bein compris mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi l'ensemble ]3; +oo[ est inclus dans l'ensemble  [3; +oo[.

pfff c'est pour ça que je t'ai fait un dessin

parce que sinon c'est totalement évident c'est la définition même du symbole d'intervalle ouvert ou fermés.

]3; +oo[ ensemble des nombres supérieurs à 3, 3 exclus (strictement > 3)
[3; +oo[ ensemble des nombres supérieurs ou égaux à 3, 3 inclus (≥ 3)

la différence entre ces deux ensembles / intrvalles est le seul et unique nombre 3 qui est dans l'un et pas dans l'autre
le plus grand des deux (celui qui contient 3) contient l'ensemble de tous les nombres de l'autre intervalle.

Ah oui désolé, je me suis juste moi-même embrouillé ...
Merci encore pour votre aide.
Donc si j'ai bien tout compris, l'intervalle ]3; +oo[  (x > 3) est inclus dans l'intervalle [3; +oo[ (x ≥ 3)
donc quel que soit x de ]3; +oo[, alors x appartient à [3; +oo[
Donc l'implication est vraie.

voila.

En revanche, pour les c) et d) c'est plus compliqué ou c'est pratiquement la meme implication avec diféérents nombres ?

c'est du même genre si tu traduis ça (= le tableau de signes) en intervalles.

(en plus je te l'ai fait pour le d)

pour le c il s'agit de voir si l'intervalle [1; 6] est inclus ou pas dans l'intervalle [0; +oo[

et bien entendu de justifier ces intervalles là par la réalisation effective des tableau de signes !
en fait ça se lit directement sur le tableau de signes sans avoir à écrire explicitement les intervalles !

Je n'ai pas compris la d) que vous avez rédigé, l'intervalle  [-1; 6] n'est pas inclus dans l'intervalle  [0 ; + oo] car - 1  < 0 donc x < 0 donc l'implication est fausse non ?

et ce n'est pas exactement ce que j'ai dit ???

Donc ce que j'ai dit c'est ce que vous avez dit mais différement ? l'inclusion dans  [0; +oo[ est aussi le cas pour la d) non ? car c'est exactement la même implication mais au lieu que ce soit (x - 1) c'est (x + 1).

si tu veux
et tu peux dire pour la d) que ce n'est pas inclus dans [0; +oo[, tout à fait.

(alors que pour la c c'est inclus)

oui, j'ai remarqué au fait c'est vraiment juste de la logique  et moi je comprenais rien du tout x). bon du coup je vais rédiger la c) et la d) et je vous montrerai, est-ce que je dois impérativement mettre un tableau de signes  ou simplement je dis que ce n'est pas inclus dans la d) et pour la c) le contraire ?