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in tégrales bizarres

Posté par franc15 (invité) 29-03-06 à 11:31

BONJOUR, et merci de t"interresser à mon problême.
Je voudrai que tu m"oriente à calculer l'intégrale suivante;
Dxydxdy où D={(x;y)/y0 et(x+y)2inférieur à 2x/3}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale bizarre 29-03-06 à 13:11

Bonjour franc15;
Aprés simplification on a 3$\fbox{D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2/\fbox{0\le x\le\sqrt{\frac{2}{3}}\\0\le y\le\sqrt{\frac{2x}{3}}-x\} d'où
3$\blue\fbox{\int\int_D\hspace{5}xydxdy=\int_{0}^{\hspace{5}\hspace{5}\sqrt{\frac{2}{3}}}\hspace{5}x\hspace{5}(\int_{0}^{\hspace{5}\hspace{5}\sqrt{\frac{2x}{3}}-x}ydy)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{3}}}x(\sqrt{\frac{2x}{3}}-x)^2dx} qu'on sait calculer.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par ptitjean (invité)re : in tégrales bizarres 29-03-06 à 13:13

salut,

je dirais que les bornes de x sont 0 et 2/3 et non (2/3)

Ptitjean

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : in tégrales bizarres 29-03-06 à 13:44

Effectivement ptitjean,c'est une erreur de frappe

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 29-03-06 à 21:30

Merci à  ptitjean et elhor_abdelali, vous me faites  grandement plaisir.Je m'en vais chercher comment vous avez trouvé le domaine.Merci beaucoup

Posté par franc15 (invité)existence d une intégrale 29-03-06 à 22:00

Salut à toi membre de ilemaths, pouvez-vous m'aider à justifier l'existence de l'intégrale suivante:
"Intégrale de 0 à /2 de (ln(1+cosx)/cosx)dx"
Et si ca ne vous gène pas m'orienter à trouver sa valeur, sachant qu'elle est égale à D((siny)/(1+cosxcosy))dxdy avec
D=[0,/2]2.

En effet voici la ou ca me bloque sur l'existence de l?intégrale,j'observe que la fonction cos(qui est au dénominateur!) s'annule en /2,de là je ne comprend plus comment on doit l'intégrer entre 0 et ce fameux /2 la ou la fonction n'est pas continue.aider-moi pardon.

Posté par
kaiser Moderateurre : in tégrales bizarres 29-03-06 à 22:04

Bonsoir franc15

Pour l'existence de l'intégrale, en fait, c'est un faux problème en \Large{\frac{\pi}{2}} car la fonction \Large{x\mapsto\frac{ ln(1+cos(x))}{cos(x)}} y est prolongeable par continuité car \Large{\lim_{u\to 0}\frac{ln(1+u)}{u}=1}

Kaiser

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 30-03-06 à 10:28

Merci Keser pour ton éclaicissement.ca va m"aider à résoudre pas mal d'exercices .Peux tu encore m'orienter pour à résoudre cet intégrale?Dit-moi un peu où est le neud.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrales bizarres 30-03-06 à 15:26

Bonjour franc15;
Je te donne l'idée (qu'il te faudra soigneusement justifier aprés):
Si on note \fbox{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(1+cos(x))}{cos(x)}dx} (intégrale dont l'existence a été bien justifiée par Kaiser)
et \fbox{J=\int\int_{[0,\frac{\pi}{2}]^2}\frac{sin(y)}{1+cos(x)cos(y)}dxdy} on a d'une part \fbox{J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-dx}{cos(x)}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-cos(x)sin(y)}{1+cos(x)cos(y)}dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-dx}{cos(x)}[ln(1+cos(x)cos(y))]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(1+cos(x))}{cos(x)}dx=I}
et d'autre part \fbox{J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(y)dy\hspace{5}\underb{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+cos(x)cos(y)}dx}_{K(y)}}
Pour calculer l'intégrale K(y) on fait le changement de variable \fbox{t=tan(\frac{x}{2})} ce qui donne \fbox{K(y)=\int_{0}^{1}\frac{2dt}{(1-cos(y))t^2+(1+cos(y))}dt=\frac{1}{1-cos(y)}\int_{0}^{1}\frac{2dt}{t^2+a^2}dt} où \fbox{a=cotan(\frac{y}{2})} une primitive de \fbox{t\to\frac{1}{t^2+a^2}} étant \fbox{t\to \frac{1}{a}arctan(\frac{t}{a})} on aboutit à \fbox{K(y)=\frac{y}{sin(y)}} et donc que finalement
4$\blue\fbox{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ydy=\frac{\pi^2}{8}} Sauf erreurs

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 30-03-06 à 16:39

Merci elhor_abdelali (Correcteur),Avant d'aller chercher ta méthode j'aimerai savoir quelle interprétation géométriqure peut-on donner à cette intégrale?est-ce l'aire d'un domaine ?si oui laquelle PRECISEMENT?
En fait je pose cette question en faisant toujours  allusion à l'EXISTENCE de cette intégrale dont je voudrait d'amples expliquations, car à ma petite connaissance ,la continuité d'une fonction sur un intervalle garantit l'existence de l'intégralle de cette fontion sur cet intervalle.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrales bizarres 31-03-06 à 01:19

Bonsoir franc15;
(*)La fonction 3$\fbox{f{:}[0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}\\x\to\{{\frac{ln(1+cos(x))}{cos(x)}\hspace{5}si\hspace{5}x\neq\frac{\pi}{2}\\1\hspace{5}sinon} est continue positive ainsi la valeur de l'intégrale 3$\fbox{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\hspace{5}\frac{ln(1+cos(x))}{cos(x)}dx} représente l'aire géométrique de la portion du plan délimitée par la courbe \scr C_f,l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x=0 et x=\frac{\pi}{2}.
(*)Il existe une deuxième façon de calculer l'intégrale \fbox{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\hspace{5}\frac{ln(1+cos(x))}{cos(x)}dx} utilisant le développement en série entière de la fonction \fbox{u\to\frac{ln(1+u)}{u}} sur l'intervalle [0,1].
Sauf erreurs

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 31-03-06 à 11:39

Merci elhor ; mais pour mieux me convaincre,
y a-t-il une différence entre  "Intégrale de 0 à /2  de f(x)dx "( où f est la fonction que tu viens décrire plus haut); et
"Intégrale de 0 à /2  de g(x)dx " où g(x)=ln(1+cos(x))/cos(x)??

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrales bizarres 31-03-06 à 20:39

Absolument aucune , franc15

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 31-03-06 à 21:26

Bonsoir  elhor_abdelali et merci de revenir.
Justement parceque dans l'énoncé il est question de prouver l'existence et de calculer
"Intégrale de 0 à /2  de g(x)dx " où g(x)=ln(1+cos(x))/cos(x);
et non "Intégrale de 0 à /2  de f(x)dx " où f est le prolongement par continuité de g en /2.
Elhor; pour être franc revenons sur l'exsistence de cette intégrale; pour que tu m'explique pas à pas ce qui ce passe au point /2.

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 03-04-06 à 13:43

Salut elhor_abdelali; j'attend impatiemment ta réponse; car cela va m"aider à résoudre bon nombres d'exo.Ou alors si tu est empêché,tu peux passer le relais à l"un dez tes colègues.

Posté par franc15 (invité)re : in tégrales bizarres 04-04-06 à 21:36

Sulut; voici une égalité qui me bloque depuis quelques jours; pouvez-vous m"orienter à la retrouver?Je sais quand même qu"un changement de variable en polaire est valable; mais dès que je procède ainsi je suis bloqué; peut-être faut-t-il utiliser éventuellement  une transformation trigonométrique?

Voici l'égalité
0y x1(dxdy)/(1+x[sup]2 )(1+y2)[/sup]=                     "intégrale de 0 à /4 de (ln(2cos2))/2cos2"


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