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Inclusion de l'image dans le noyau
Bonjour,
Petite question qui peut sembler bête mais je ne vois pas comment raisonner.
On donne
On me demande de donner le rang de A qui vaut 1 vu les combinaisons linéaire que l'on peut former à partir des colonnes.
toute fois on me demande de montrer que . Je ne vois pas comment raisonner. J'ai essayé de raisonner autour du fait que les colonnes de A forment une famille génératrice de
qui n'est bien évidemment pas libre puisque
Merci d'avance
J'ai déjà trouvé du coup une base de qui je pense est correcte :
Pour autant qu'entendez vous par prendre la base canonique.
Si je prends les triplets canoniques de je ne vois rien de particulier.
Ce qui me perturbe c'est que d'habitude, pour prouver une telle inclusion je prends un élément de l'Image : il s'écrit donc en combinaison linéaire des colonnes de la matrice. Puis je vérifie qu'il se trouve dans le noyau.
Ce qui me perturbe c'est que d'habitude, pour prouver une telle inclusion je prends un élément de l'Image
On est bien d'accord, encore faut-il la calculer cette image.
Et il me semble que dans ton cours il doit y avoir un truc du genre : une application linéaire est connue dès que l'on connaît sa valeur sur les éléments d'une base.
Donc ici, ce que je te propose, c'est de calculer les images des vecteurs (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) qui forment ce que l'on appelle la base canonique.
En effet je suis capable de déterminer l'image à partir des images des vecteurs de base.. comment j'ai pu ne pas y penser .. 
Je vais y travailler je reviens vers vous si ça bloque merci encore !
ou sinon tu calcules A²
cela devrait te donner une information capitale pour montrer que l'image est contenue dans le noyau...
Toute une partie de l'exercice précédent portait sur les matrices nilpotentes d'indice 2 et l'intitulé de cette matrice est les racines carées des matrices nilpotentes d'indice 2 donc j'imagine que A² = 0 
En calculant les images de tes vecteurs de base, tu retrouves évidemment les colonnes de la matrice et comme tu t'es aperçu que la colonne 3 + 2 fois la colonne 2 + la colonne 1 faisait la colonne nulle, tu en as évidemment déduit que A² = 0
Alors :
Calculons les images par A des vecteurs
On appelle les vecteurs précédents et
leur matrices respectives.
Alors :
AX1 =
AX2 =
AX3 =
On trouve bien les trois colonnes. Mais en fait on peut directement dire que
Im A = Vect < >
Dans ce cas on a trouvé Im A et Ker A. Donc si je veux montrer l'inclusion je prends un élément de Im A :
Soit .
Alors 
,
En prenant l'image de ce vecteur on trouve que u(x) = 0 donc cet élément appartient bien à Ker A. Correct ?
Merci encore.
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