Bonjour

Montre que si l'indice de nilpotence est m, si on prend x tel que soit non nul, alors la famille est libre. (C'est assez élémentaire)

Si tu connais le théorème de Cayley-Hamilton où si tu sais des choses sur le polynôme minimal, tu meux aussi t'en servir!

Bonjour Elopid

Soit un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel E de dimension finie .
Notons son indice de nilpotence. Quelles sont les deux conditions vérifiées par l'entier p ?

Kaiser

Trop rapide pour moi, Camélia ! Salut !

Salut kaiser

soit a1,...,am-1 des scalaires tels que a1x+...+am-1u^(m-1)(x)=0, on montre que la famille est libre en composant m-1 fois par u, on obtient a1=...=am-1=0, donc la famille est libre. je ne comprends pas bien le rapport :s

Quel est le cardinal de cette famille libre ?

Kaiser

autre chose importante : la famille de scalaires commence à et non pas à

Kaiser

ah oui, c'est ao ^^'
toute famille libre a au maximum dimE=n éléments. si E est de dimension finie n et que l'indice de nilpotence de u est inférieur ou égal à n, alors forcément, u^n=0 ?

toutafé !

Kaiser

je vois! mais j'ai le droit de dire cela sans le démontrer ?

Démontrer quoi ? on a tout démontré.

Si tu veux vraiment être précis (ou précise ?), on peut dire que l'indice de nilpotence est m et que m est inférieur à n d'après ce qui précède, comme tu l'as dit, et donc nécessairement par définition de l'indice de nilpotence.

Kaiser

tout est clair
merci !

Mais je t'en prie !