Bonjour, franc3sco.

Etudie la fonction:
g(a) = exp(a-1)-ab+b ln(b)
Tu trouveras qu'elle admet un minimum en  a=1+ln(b).
g(a) >=  g(1+ln(b)) = 0
Terminé

Bonjour.

As-tu étudié le calcul différentiel ?

Si oui, voilà ce que je pense avoir trouvé.

On considère f(x,y) = exp(x-1) + yln(y) - xy définie pour x dans R et y > 0.

Le calcul des deux premières dérivées partielles montre qu'elles s'annulent le long d'une ligne critique :
x dans R et y = exp(x-1)

Lorsque je calcule f(x,exp(x-1)), je trouve 0.

Reste à savoir si cela réalise un minimum.

En calculant les trois dérivées partielles d'ordre 2 en en se plaçant dans un voisinage de cette ligne, cela donne :

f(x+h,exp(x-1)+k) = + ... > 0.

Cela signifie que cette ligne représente une ligne de minimum absolu pour f.

Donc : Pour tout x dans R et tout y > 0, f(x,y) > 0.

Ce qui fournit bien le résultat souhaité.

A plus RR.

Bonsoir perroquet.

Je crois que je suis allé chercher bien loin ce que tu as trouvé immédiatement.
Cela doit venir de ce que j'étudie en ce moment.

A plus RR.

merci à vous mais j'ai jamais dérivé de fonction a deux variables.

en gros si je dérive ab jvais tomber sur a+b?

dsl c'est un découverte ce truc.

Dans la solution que te propose raymond (bonjour, raymond ) on considère une fonction de deux variables.

Mais dans la solution que je te propose on considère une fonction de la seule variable a (b jouant le rôle de paramètre):
g(a)= exp (a-1) -ab +b ln(b)
On a:
g'(a)= exp(a-1)-b
...

moai.....


et pourquoi on a pas choisi a comme variable et b comme paramétre??


pour moi les deux sont des variables d'ailleur(ou des paramétres....)


merci d'avance

Tu aurais pu choisir b comme variable et a comme paramètre. Je ne sais pas si les calculs sont aussi simples (et je n'ai pas envie de le faire).

Comme tu l'as écrit précédemment tu ne sais que très peu de choses sur les fonctions de plusieurs variables. Un moyen de t'en tirer est donc de considérer l'une des deux variables a ou b comme paramètre ...

ok jvais tout admetre pour l'instant alors.


merci en tout cas.



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