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Inégalité

Posté par
Ramanujan
11-08-17 à 13:26

Bonjour,

Pour tout réels positifs ou nuls a,b pour tout p>1 tel que :
\frac{1}{p} +\frac{1}{q}=1

Montrer que : ab \leq \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q

J'ai pas d'idée...

Posté par
Oldboub
re : Inégalité 11-08-17 à 13:48

Bonjour,
regarde de plus près l'inégalité de Holder...

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-08-17 à 14:01

La question suivante demande de démontrer l'inégalité de Holder.

Posté par
etniopal
re : Inégalité 11-08-17 à 14:35

Tu prends b > 0 et tu étudies les variations de  l'application (]0 , +[ , x   f(x) :=  p/p  - bx

Posté par
etniopal
re : Inégalité 11-08-17 à 14:36

f(x) :=  xp/p  - bx

Posté par
nadiasoeur123
re : Inégalité 11-08-17 à 15:31

Bonjour ;

Si tu remarques que la fonction \ln est concave sur \mathbb R^{*+} , alors le résultat est immédiat :

\forall t \in [0;1] , \forall (x;y) \in \mathbb R^{*+2} :\ln(tx+(1-t)y)\ge t\ln(x) + (1-t)\ln(y) ,

donc en posant : t = \frac{1}{p} ; 1-t = q ; x = a^p et y = b^q alors tu peux conclure .

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-08-17 à 18:24

Merci Nadia j'ai trouvé

On prend : t=\frac{1}{p} alors 1-t=\frac{1}{q}
Et : x=a^p et b=b^q

Alors comme p>1 on a : 0 < t <1

Aussi : 0 < 1-t <1

Comme la fonction ln est concave alors -ln est convexe.
Si on pose : f(x)=-ln(x) : f(\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q) \leq \frac{1}{p}f(a^p)+\frac{1}{q}f(b^q)

Alors : -ln(\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q)  \leq -\frac{1}{p}ln(a^p)-\frac{1}{q}ln(b^q)

Donc en multipliant par -1 ça change le signe de l'inégalité: ln(\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q)  \geq \frac{1}{p}ln(a^p)\frac{1}{q}ln(b^q)

Par croissance de la fonction ln : ab \leq \frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q

Posté par
nadiasoeur123
re : Inégalité 12-08-17 à 16:24

Bonjour ;

Bravo . Belle démonstration .

Posté par
Razes
re : Inégalité 12-08-17 à 22:02

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