Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Inégalité

Posté par
Reic 19-10-23 à 12:26

Bonjour besoin d'aide  pour montrer que.
xR, x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x+\frac{3}{4} strictement positif

Posté par
Reicre : Inégalité 19-10-23 à 12:30

  Désolé
xR, x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4} strictement positif

Posté par
carpediemre : Inégalité 19-10-23 à 12:50

salut

première méthode : étudier les variations de la fonction f: x \maspto x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + \dfrac 3 4

deuxième méthode :   \dfrac 3 4 = 1 - \dfrac 1 4  donc ...

troisième (et plus ?) méthode : plus tard ...

Posté par
Reicre : Inégalité 19-10-23 à 13:16

deuxième methode :\frac{x^7+1}{x+1}-\frac{1}{4}, avec x!=-1

Posté par
Reicre : Inégalité 19-10-23 à 13:25

carpediem @ 19-10-2023 à 12:50

salut

première méthode : étudier les variations de la fonction f: xx^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + \dfrac 3 4
/quote]
la derivé sont assez etrange(je n'arrive pas à trouver de racines devrais je continuer jusqu'a la derivée où le polynôme sera du second degré?

Posté par
carpediemre : Inégalité 19-10-23 à 13:56

ok la première méthode, ben trop compliqué cette dérivée

mais la deuxième méthode marche ... toujours avec le même principe que la première méthode : dérivée et étude des variations

aide : il faudra dériver une deuxième fois et utiliser le T?? ...

Posté par
moubarak2016re : Inégalité 19-10-23 à 15:16

Bonjour

On peut démontrer l'inégalité par disjonction de cas :
Soit P(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}
[/tex]
Si x\leq0 alors les réels -x^5,-x^3 et -x sont positifs donc P(x) est positif.

Si x\geq 1 alors P(x)=x^6(x-1)+x^4(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4} est positif

Si 0\leq x \leq 1 alors
P(x)=x^5(x-1)+x^3(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4}

donc P(x)=(x-1)(x^5+x^3+x^2)+\frac{3}{4}

et comme x^5+x^3+x^2\leq 3x et x-1\leq 0

on a P(x)\geq 3x(x-1)+\frac{3}{4}=3(x-\frac{1}{2})^2

conclusion : le polynôme P est positif sur \mathbb{R}

Posté par
moubarak2016re : Inégalité 19-10-23 à 15:34

On peut aussi écrire le polynôme P sous la forme
(x^3-\frac{1}{2}x^2)^2+\frac{3}{4}(x^2-\frac{2}{3}x)^2+\frac{2}{3}(x-\frac{3}{4})^2+\frac{3}{8}

ce qui prouve que le polynome P est positif sur \mathbb{R}

Posté par
malou Webmasterre : Inégalité 19-10-23 à 15:44

moubarak2016 bonjour et bon retour parmi nous
Il y a un bon bout de temps que nos règles se sont précisées...
Merci de les lire
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
moubarak2016re : Inégalité 19-10-23 à 15:46

une autre expression pour le polynome P
3(1-2x/3)^2/4+2(x-3x^2/4)^2/3+5(x^2-4x^3/5)^2/8+3x^6/5

Posté par
malou Webmasterre : Inégalité 19-10-23 à 18:21

malou @ 19-10-2023 à 15:44

moubarak2016 bonjour et bon retour parmi nous
Il y a un bon bout de temps que nos règles se sont précisées...
Merci de les lire
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
Creire : Inégalité 20-10-23 à 12:45

moubarak2016 @ 19-10-2023 à 15:16

Bonjour

On peut démontrer l'inégalité par disjonction de cas :
Soit P(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}
[/tex]
Si x\leq0 alors les réels -x^5,-x^3 et -x sont positifs donc P(x) est positif.

Si x\geq 1 alors P(x)=x^6(x-1)+x^4(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4} est positif
D'accord merci


Si 0\leq x \leq 1 alors
P(x)=x^5(x-1)+x^3(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4}

donc P(x)=(x-1)(x^5+x^3+x^2)+\frac{3}{4}

et comme x^5+x^3+x^2\leq 3x et x-1\leq 0

on a P(x)\geq 3x(x-1)+\frac{3}{4}=3(x-\frac{1}{2})^2

conclusion : le polynôme P est positif sur \mathbb{R}

Posté par
Reicre : Inégalité 20-10-23 à 12:47

merci pour vos suggestions

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inégalité 20-10-23 à 15:50

Bonjour,
La démonstration par disjonction de cas est sans doute celle attendue car elle fait apparaître ce 3/4 dont on se demande d'où il sort.
J'en propose une variante en tentant de ne pas être trop explicite pour que Reic puisse se fatiguer un peu

Soit P(x) = x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x.
P(x) = x(x-1)(x4+x2+1)

1er cas
Démontrer que P(x) 0 en dehors de [0;1].

2nd cas
Démontrer que 0 x(1-x) 1/4 sur [0;1].
En déduire que P(x) -3/4 sur [0;1].

Posté par
carpediemre : Inégalité 20-10-23 à 17:10

j'allais proposer la même chose !!

Posté par
Razesre : Inégalité 23-10-23 à 21:54

Bonsoir,

La méthode avec la somme des carrés de moubarak2016 me rappele la factorisation des formes quadratique est très intéressante.


La methode par disjonction l'est aussi, mais pour le cas 0\leq x \leq 1
Je préfère écrire P(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}\\=\frac{x^7+1}{x+1}-\frac 14 =\frac{4x^7-x+3}{4(x+1)} qui est positif car le dénominateur est positif et le numérateur s'écrit  (4x^7)+(3-x) somme de termes positif.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1707 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !