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Inégalité

Posté par Profil Reic 19-10-23 à 12:26

Bonjour besoin d'aide  pour montrer que.
xR, x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x+\frac{3}{4} strictement positif

Posté par Profil Reicre : Inégalité 19-10-23 à 12:30

  Désolé
xR, x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4} strictement positif

Posté par
carpediem
re : Inégalité 19-10-23 à 12:50

salut

première méthode : étudier les variations de la fonction f: x \maspto x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + \dfrac 3 4

deuxième méthode :   \dfrac 3 4 = 1 - \dfrac 1 4  donc ...

troisième (et plus ?) méthode : plus tard ...

Posté par Profil Reicre : Inégalité 19-10-23 à 13:16

deuxième methode :\frac{x^7+1}{x+1}-\frac{1}{4}, avec x!=-1

Posté par Profil Reicre : Inégalité 19-10-23 à 13:25

carpediem @ 19-10-2023 à 12:50

salut

première méthode : étudier les variations de la fonction f: xx^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + \dfrac 3 4
/quote]
la derivé sont assez etrange(je n'arrive pas à trouver de racines devrais je continuer jusqu'a la derivée où le polynôme sera du second degré?

Posté par
carpediem
re : Inégalité 19-10-23 à 13:56

ok la première méthode, ben trop compliqué cette dérivée

mais la deuxième méthode marche ... toujours avec le même principe que la première méthode : dérivée et étude des variations

aide : il faudra dériver une deuxième fois et utiliser le T?? ...

Posté par
moubarak2016
re : Inégalité 19-10-23 à 15:16

Bonjour

On peut démontrer l'inégalité par disjonction de cas :
Soit P(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}
[/tex]
Si x\leq0 alors les réels -x^5,-x^3 et -x sont positifs donc P(x) est positif.

Si x\geq 1 alors P(x)=x^6(x-1)+x^4(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4} est positif

Si 0\leq x \leq 1 alors
P(x)=x^5(x-1)+x^3(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4}

donc P(x)=(x-1)(x^5+x^3+x^2)+\frac{3}{4}

et comme x^5+x^3+x^2\leq 3x et x-1\leq 0

on a P(x)\geq 3x(x-1)+\frac{3}{4}=3(x-\frac{1}{2})^2

conclusion : le polynôme P est positif sur \mathbb{R}

Posté par
moubarak2016
re : Inégalité 19-10-23 à 15:34

On peut aussi écrire le polynôme P sous la forme
(x^3-\frac{1}{2}x^2)^2+\frac{3}{4}(x^2-\frac{2}{3}x)^2+\frac{2}{3}(x-\frac{3}{4})^2+\frac{3}{8}

ce qui prouve que le polynome P est positif sur \mathbb{R}

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 19-10-23 à 15:44

moubarak2016 bonjour et bon retour parmi nous
Il y a un bon bout de temps que nos règles se sont précisées...
Merci de les lire
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
moubarak2016
re : Inégalité 19-10-23 à 15:46

une autre expression pour le polynome P
3(1-2x/3)^2/4+2(x-3x^2/4)^2/3+5(x^2-4x^3/5)^2/8+3x^6/5

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 19-10-23 à 18:21

malou @ 19-10-2023 à 15:44

moubarak2016 bonjour et bon retour parmi nous
Il y a un bon bout de temps que nos règles se sont précisées...
Merci de les lire
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
Crei
re : Inégalité 20-10-23 à 12:45

moubarak2016 @ 19-10-2023 à 15:16

Bonjour

On peut démontrer l'inégalité par disjonction de cas :
Soit P(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}
[/tex]
Si x\leq0 alors les réels -x^5,-x^3 et -x sont positifs donc P(x) est positif.

Si x\geq 1 alors P(x)=x^6(x-1)+x^4(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4} est positif
D'accord merci


Si 0\leq x \leq 1 alors
P(x)=x^5(x-1)+x^3(x-1)+x^2(x-1)+\frac{3}{4}

donc P(x)=(x-1)(x^5+x^3+x^2)+\frac{3}{4}

et comme x^5+x^3+x^2\leq 3x et x-1\leq 0

on a P(x)\geq 3x(x-1)+\frac{3}{4}=3(x-\frac{1}{2})^2

conclusion : le polynôme P est positif sur \mathbb{R}

Posté par Profil Reicre : Inégalité 20-10-23 à 12:47

merci pour vos suggestions

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inégalité 20-10-23 à 15:50

Bonjour,
La démonstration par disjonction de cas est sans doute celle attendue car elle fait apparaître ce 3/4 dont on se demande d'où il sort.
J'en propose une variante en tentant de ne pas être trop explicite pour que Reic puisse se fatiguer un peu

Soit P(x) = x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x.
P(x) = x(x-1)(x4+x2+1)

1er cas
Démontrer que P(x) 0 en dehors de [0;1].

2nd cas
Démontrer que 0 x(1-x) 1/4 sur [0;1].
En déduire que P(x) -3/4 sur [0;1].

Posté par
carpediem
re : Inégalité 20-10-23 à 17:10

j'allais proposer la même chose !!

Posté par
Razes
re : Inégalité 23-10-23 à 21:54

Bonsoir,

La méthode avec la somme des carrés de moubarak2016 me rappele la factorisation des formes quadratique est très intéressante.


La methode par disjonction l'est aussi, mais pour le cas 0\leq x \leq 1
Je préfère écrire P(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}\\=\frac{x^7+1}{x+1}-\frac 14 =\frac{4x^7-x+3}{4(x+1)} qui est positif car le dénominateur est positif et le numérateur s'écrit  (4x^7)+(3-x) somme de termes positif.



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