Niveau Maths sup

inégalité a demontrer

Posté par
roxane 18-09-05 à 15:51

bonjour a tous!

j'aurais besoin d'aide sur un dm svp!
on doit montrer l'inégalité suivante:

h $\sum_{k=0}^(n-1) f(a+kh)$ $\int_a^{b} f(t) dt$ h $\sum_{k=1}^n f(a+kh)$

avec f continue et croissante sur [a,b]
h=(b-a)/n
a<b

celle de gauche ok en utilisant somme de riemann ms celle de droite jy arrive pas
kk1 pourrait il m'aider svp?

Posté par re : inégalité a demontrer 18-09-05 à 16:04

C'est la même chose!
On écrit que sur chaque intervalle d'intégration [a+kh, a+(k+1)h]
f(a+kh)?f(t)?f(a+(k+1)h)

Posté par re : inégalité a demontrer 18-09-05 à 16:06

lire f(a+kh)<=f(t)<=f(a+(k+1)h)
visiblement quand je tape "inférieur ou égal, ça passe pas

Posté par re : inégalité a demontrer 18-09-05 à 16:17

Bonjour

Posons g la fonction :[a,b]-> R tel $g(x)=f(x_{k+1})$ pour tout x dans $[x_k, x_{k+1}]$

où $x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$

f étant croissante, on a g $\ge$ f

Posons h la fonction :[a,b]-> R tel que $h(x)=f(x_k)$ pour tout x dans $[x_k, x_{k+1}]$

f étant croissante, on a f $\ge$ h

$\int_a^{b} g(x) dx=\sum_{k=0}^n [x_{k+1}-x_k][f(x_{k+1}]=\sum_{k=0}^{n-1\int_x_k^{x_{k+1}}} g(x)dx=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k+1})=h*\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k+1})$

$\int_a^{b} h(x) dx=\sum_{k=0}^{n-1\int_x_k^{x_{k+1}}} h(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1} [x_{k+1}-x_k][f(x_k]=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)=h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$

L'intégrale de la fonction f est coincée entre l'intégrale de g et h

$h*\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k+1})$ $\le$ $\int_a^{b} f(t) dt$ $\le$ $h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$

Charly

Posté par re : inégalité a demontrer 18-09-05 à 17:44

merci pour votre aide piepalm et charlynoodles!

ok g compris. j'avais fait comme ca pour l'inégalité de gauche ms, je m'étais embrouillé pour celle de droite
merci bcp!

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