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Inégalité arithmético-géométrique (2)

Posté par
Alexique 29-07-12 à 13:02

Bonjour !

Une première preuve a été présentée de l'IAG (1). Une seconde me pose problème également (preuve de Cauchy s'il vous plaît) :

1) Monter que pour tous réels x et y, \sqrt {xy} \le \frac {x+y}{2}
Finger in the nose (un carré est toujours positif ergo...)

2) Montrer que pour tout entier n et réels strictements positifs x_1,...,x_n
\large \sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} x_k} \le \frac 1{2^n} \sum_{k=1}^{2^n} x_k

Heu l'hérédité est pas claire pour moi...

3) On pose m=\frac 1{n} \sum_{k=1}^{n} x_k
Montrer que 2^n \ge n (ok). On peut donc poser x_i = m  pour  tout  i \in [[n+1,2^n]] (pas clair pourquoi donc ?)

4) Conclure (rien, nada, nichts, nothing et même nihil !)

Je comprends bien que c'est n qu'on veut (et pas 2^n) mais sinon...

Merci pour vos suggestions !

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:17

Bonjour Alexique

Pour la 2), utilise entre autre le fait que \large{\prod_{k=1}^{2^{n+1}} x_k=\left(\prod_{k=1}^{2^n} x_k\right)\left(\prod_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} x_k\right)}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:22

Citation :
(pas clair pourquoi donc ?)


Pour la 3), compte le nombre d'éléments de [[n+1,2^n ]].

Kaiser

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:36

Salut

A mon avis, l'idée est la suivante:
tu as déjà démontrer que \sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}
Si on pose x = \sqrt{x_1 x_2} et y = \sqrt{x_3 x_4}
on obtient:
\sqrt{xy} = \sqrt{\sqrt{x_1 x_2} \sqrt{x_3 x_4}} \le \frac{\sqrt{x_1 x_2} + \sqrt{x_1 x_2}}{2} \le \frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:43

Du coup si on pose x_k = \sqrt{y_{k_1} y_{k_2}} je pense que cela fonctionnerait...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:45

En effet, ca marche... hi hi

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:50

\sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} \sqrt{y_{k_1} y_{k_2}}} \le \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{y_{k_1} y_{k_2}} \le \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{2^n} \frac{y_{k_1} + y_{k_2}}{2} = \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{2^n} y_{k_1} + y_{k_2} ...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 13:58

on a donc 2^{n+1} termes/facteurs de chaque côté de cette inégalité:
\sqrt[2(n+1)]{\prod_{k=1}^{2^n} y_{k_1} \prod_{k=1}^{2^n} y_{k_2}} \le \frac{1}{2^{n+1}} \left(\sum_{k=1}^{2^n} y_{k_1} + \sum_{k=1}^{2^n} y_{k_2} \right)

et donc si je pose k_2 = k_1 + 2^n on obtient finalement:
\sqrt[2(n+1)]{\prod_{k=1}^{2^{n+1}} y_{k_1}} \le \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{2^{n+1}} y_{k_1}

et voilà

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 14:04

Au tant posais k_1 = j et k_2 = j + 2^n et on obtiendra:
\sqrt[2(n+1)]{\prod_{j=1}^{2^{n+1}} y_j} \le \frac{1}{2^{n+1}}\sum_{j=1}^{2^{n+1}} y_j

je pense que ce sera mieux...

Posté par
DHilbertre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 14:55

@Alexique :

Citation :
1) Monter que pour tous réels x et y, \sqrt {xy} \le \frac {x+y}{2}
Finger in the nose (un carré est toujours positif ergo...)


Es-tu certain que les auteurs ont écrit les choses de la sorte (partie graissée par mes soins) ?

A +

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 15:01

je pense que c'est pour des réels positifs non nuls...

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 15:11

ben il manque peut-être un mot du genre "positifs" mais sinon...

Posté par
DHilbertre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 15:22

@Alexique :

Citation :
ben il manque peut-être un mot du genre "positifs" mais sinon...


Soit x, y quelconques dans \R_+. Le résultat découle alors de ce que (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0.

Question : Penses-tu qu'il puisse y avoir une autre possibilité ?

A +

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 15:33

@DHilbert :

Citation :
Question : Penses-tu qu'il puisse y avoir une autre possibilité ?


Réponse : NON, c'est bien ce à quoi je pensais !

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 18:21

BenJ pas clair tout ça (tes indices k1 et k2 sont bizarres...)
Voilà où j'en suis en supposant la propriété vraie au rang n :

\sqrt[2(n+1)]{\prod_{k=1}^{2^{n+1}} x_k} = \sqrt {\sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} x_k \prod_{k= 2^n +1}^{2^{n+1}} x_k} }= \sqrt {\sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} x_k} {\sqrt[2n]{\prod_{k= 2^n +1}^{2^{n+1}} x_k}}} \le \dfrac {\sqrt[2n]{\prod_{k= 2^n +1}^{2^{n+1}} x_k} + \sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} x_k}}{2} \le \frac 1{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{2^n} x_k + \frac 12 \sqrt [2n]{\prod_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} x_k}

Et après ??

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 18:36

Bon je te le réécris
je suppose que \forall k \in [[1, 2^n]], x_k = \sqrt{y_k y_{k + 2^n}}

Donc on obtient:
\sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} x_k} = \sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} \sqrt{y_k y_{k + 2^n}} }...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 18:42

... et
\sqrt[2n]{\prod_{k=1}^{2^n} \sqrt{y_k y_{k+2^n}}}\le \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \sqrt{y_k y_{k+2^n}}
Or  \sqrt{y_k y_{k + 2^n}} \le \frac{y_k + y_{k + 2^n}}{2}
donc \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \sqrt{y_k y_{k+2^n}} \le \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^n y_k + y_{k+2^n}

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 18:51


... oups pour la somme c'est jusque 2^n et non n... enfin je continue:
\sqrt[2(n+1)]{ \prod_{k=1}^{2^{n+1}} \sqrt{y_k}} = \sqrt[2(n+1)]{ \prod_{k=1}^{2^n}{y_k} \prod_{k=1}^{2^n}{y_{k+2^n}}} =  \sqrt[2n]{\sqrt{ \prod_{k=1}^{2^n}{y_ky_{k+2^n}}}} = \sqrt[2n]{ \prod_{k=1}^{2^n}\sqrt{y_ky_{k+2^n}}}} \le \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{y_k y_{k+2^n}} \le \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{2^n} y_k + y_{k+2^n} = \frac{1}{2^{n+1}} \left(\sum_{k=1}^{2^n} y_k + \sum_{k=1}^{2^n} y_{k+2^n} \right) = \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{2^{n+1}} y_k

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 18:53

Oups encore: \sqrt[2(n+1)]{\prod_{k=1}^{2^{n+1}} y_k} Rrrr...
c'est à force de taper de longue formule de latex...... ouf...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 18:59

Est-ce que c'est un peu plus compréhensible, Alexique ? ....

Désolé pour les erreurs entre temps ... Il est vrai que si on tape les formules tout en réfléchissant à la suite, on fait naturellement des erreurs...

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 19:07

ok joliment vu une fois encore
ce changement de variable [tex x_k = \sqrt{y_k y_{k + 2^n}}[/tex] est très judicieux effectivement !

Pour la 3) du coup, il y a 2^n-n termes dans cet ensemble et du coup la moyenne arithmétique des 2^n termes vaut m ie
la moyenne des n premiers termes et la même que celles des 2^n premiers.
Pourquoi pas...

Reste à conclure proprement... Toujours du mal à voir pourquoi on va pouvoir se permettre de remplacer 2^n par n cependant...

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 19:07

\Large x_k = \sqrt{y_k y_{k + 2^n}} (mal passé...)

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:16

Et bien j'arrive à arriver à la somme souhaitée mais pas au produit:
\frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{2^n} x_k = \frac{1}{2^{n+1}} \left(\sum_{k=1}^{n} x_k + \sum_{i=n+1}^{2^n} x_i \right) = \frac{1}{2^{n+1}} \left(n \cdot m + (2^n - n)m \right) = \frac{1}{2^{n+1}} 2^n m = m = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:18

"j'arrive à arriver..." ...pas trés français j'avoue... je remplace par "je parviens à atteindre la somme souhaitée..."

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:20

et c'est \frac{1}{2^n}... Rrrr ...(BenJ calme-toi...)

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:28

et bien moi si j'arrive au produit souhaité : creuse un peu, y'a pas d'astuce !

Posté par
vince78re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:42

ben oui, il y a des m des 2 cotés de l'inégalité, yaka simplifier

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:42

Pour le produit, j'obtiens \sqrt[2n]{m^{2^n - n}\prod_{k=1}^n x_k} mais je ne parviens pas à simplifier davantage... Faut-il utiliser une inégalité?...

Posté par
vince78re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:45

pas mal l'exo en tout cas. Heureusement qu'il en reste encore 1 ou 2 qui ne sont pas encore à la mer...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:46

Hein??? tu veux simplifier par m cela: \sqrt[2n]{m^{2^n - n}\prod_{k=1}^n x_k} \le m

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:53

Si j'utilise une inégalité de plus, j'obtiens : \sqrt[2n]{\prod_{k=1}^n x_k} \le m...

Posté par
vince78re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 20:54

\sqrt[2^n]{m^{2^n-n}\prod_{k=1}^n{x_k}} \leq m
tout est positif

m^{2^n-n}\prod_{k=1}^n{x_k} \leq m^{2^n}
\prod_{k=1}^n{x_k} \leq m^n

si je ne ma'abuse...

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 21:01

Ahhh, OK! ... merci Vince

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 21:13

lol 32 posts sur ce topic merci BenJ, t'as battu tous les records !

Citation :
pas mal l'exo en tout cas


Merci, mes exos ont toujours beaucoup d'intérêt

Quant au fait que certains ne suivent plus, c'est peut-être parce que ça ne les intéresse plus ou bien qu'ils n'ont pas spécifiquement demandé à recevoir un message à chaque nouveau post de façon à ne pas avoir sa boite mail engorgée (ce qui est mon cas n'est-ce pas BenJ )

Cela dit, la remarque de Kaiser était quand même un peu légère à mon goût ...
Il faut dire que c'était pas tout simple à écrire quand on voit les efforts qu'on a du faire pour ne pas rater une ligne de \LaTeX..

Pour votre gouverne, la dernière preuve repose sur l'inégalité \large x \le e^{x-1}  et il faut conclure avec les nombres \large \frac {x_1}{m}, \ldots, \frac {x_n}{m}  avec  m = \frac 1n \sum_{k=1}^n x_k

J'ai déjà la solution (simplement si ça vous intéresse de chercher vite fait, voilà, vous avez avec la preuve bateau de Jensen 4 preuves au total de l'IAG !) A partir de l'inégalité de Tchbychev, je crois qu'on peut en obtenir une 5ème...

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 21:58

Et merci du coup de main

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 22:06

...Comme je le répète assez souvent: Tout le plaisir est pour moi ...

Posté par
vince78re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 22:41

C'est vrai que LateX représente un effort
J'ai essayé de faire du drag&drop des formules des posts précédents, mais ça ne marche pas très bien...

Posté par
Alexiquere : Inégalité arithmético-géométrique (2) 29-07-12 à 22:56

là c'était horrible :  toujours une erreur d'accolade pas refermée... Faut les compter, pas d'autre méthode !
BenJ t'as vu la fin de l'histoire du téléscopage ?

Posté par
BenJ80re : Inégalité arithmético-géométrique (2) 30-07-12 à 00:21

O que oui!Ca fais depuis peu de temps que je manipule le Latex (disons deux mois environs) et je peux dire qu'une erreur et ca devient horrible!   

Et Oui je l'ai vu la fin du "telescopage"... Il est vrai qu'il existait bien un telescopage mais dès que l'on avait l'expression de fin, cela se voyait (je veux dire, quand on voit un terme avec des puissance n+1 et une soustraction avec un terme n'ayant pas de lien avec n, il est compréhensible qu'il y a eu télescopage...)...
Enfin bref... Tu as eu également "le flair" pour le dénicher, bravo !

Posté par
Arefre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 09-09-18 à 18:29

Je viens de recevoir exactement le même exo en DM pour ma 1ère semaine en prépa
QUELLE CHANCE

Posté par
luzakre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 09-09-18 à 23:44

Je n'ai pas tout lu mais je pense que 4) : conclure peut se faire en démontrant que si l'inégalité est vraie pour n+1 alors elle est vraie pour n.
Ce qu'on peut faire ainsi :
Soit s=\sum_{1\leqslant k\leqslant n} x_k,\;p=\prod_{1\leqslant k\leqslant n}x_k.

On pose x_{n+1}=\dfrac sn.
Alors, s'=\sum_{1\leqslant k \leqslant n+1}x_k=s+\dfrac sn=\dfrac{n+1}ns donc \dfrac {s'}{n+1}=\dfrac{s}n.

On suppose que p'=p\dfrac sn=\prod_{1\leqslant k\leqslant n+1}x_k\leqslant \left(\dfrac{s'}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{s}{n}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{s}{n}\right)^{n}\dfrac sn d'où la relation d'inégalité à l'ordre n.

............................
Ayant montré l'inégalité pour 2^n, par récurrence descendante elle est alors vraie pour n (je pense que c'est la raison d'attirer l'attention sur le fameux n<2^n qui n'a pas l'air à sa place à un tel niveau).

Posté par
luzakre : Inégalité arithmético-géométrique (2) 09-09-18 à 23:52

Quand je dis "inégalité pour n,n+1 " il s'agit évidemment  de celle qu'on veut obtenir, avec n à la place de 2^n.


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