salut,

C'est un devoir surveillé de TS qui propose une méthode originale pour démontrer cette inégalité
Neo

Bonjour machin et neo;
On pourrait aussi remarquer en posant que le probléme est équivalent à prouver que
Pour cela fixons les deux variables positives et et considérons la fonction un petit calcul donne que et donc que est décroissante sur et croissante sur et vu que on conclut que est positive sur ce qu'est le résultat souhaité
(Sauf erreurs bien entendu)

bonjour elhor,_abdelali,

Pourquoi peut-on fixer et ?
Il n'y a pas perte de généralité du résultat ?

Merci

On s'oocupera du cas où aucun des trois nombres n'est égal à leur moyenne arithmétique (le cas où les trois nombres y sont égaux donne une égalité; le cas où un seul nombre y est égal est assez facile à résoudre).
Deux des trois nombres sont du même côté par rapport à la moyenne. Disons que le troisième est c.
Soit m la moyenne, m-a = v; m-b = w; m-c = -v-w; avec w et w de même signe.
En élevant les deux membres au cube :
m³ >? (m-v)(m-w)(m+v+w)
le deuxième membre égale (m²+vw-mv-mw)(m+v+w)
= m³+m²v+m²w +vwm=v²w+vw² -m²v-mv²-mvw -m²w-mwv-mw²
= m³-mvw+v²w+vw²-mv²-mw²
Il faut : -mvw+v²w+vw²-mv²-mw² <? 0
mvw+mv²+mw² >? v²w+vw²
si v et w sont négatifs, le premier membre est positif et le second négatif
si v et w sont positifs, ils sont tous deux inférieurs à m : mv² > wv² et mw² > vw²; le premier membre a deux termes respectivement supérieurs au deux termes du second membre et il a un troisième terme positif en plus; donc le premier membre est supérieur au second.

On peut généraliser : de tous les ensembles de nombres positifs de même cardinal et de même somme, celui qui a le plus grand produit est celui qui a tous ses éléments égaux (analogie étonnante avec la géométrie : de tous les polygones convexes de même nombre de côtés et de même périmètre, celui qui a la plus grande aire est le polygone régulier).