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inégalité avec des dérivées partielles

Posté par
fusionfroide 10-12-06 à 19:21

Salut

Soit 4$f : R^n->R une fonction linéaire continue dont les dérivées partielles continues sont telles que :

4$\forall 1 \le i \le n, 4$\forall x \in \mathbb{R}, 4$|\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)| \le K

Montrer que 4$|f(x)-f(y)| \le \sqrt{n} K ||x-y||

Ce que j'ai fait :

On a : 4$|Df(x)(h_1,...,h_n)| \le K (\sum_{i=1}^n |h_i|)

Par Cauchy-Schwarz, on a :

4$|Df(x)(h_1,...,h_n)| \le K (\sum_{i=1}^n |h_i|) \le \sqrt{n} K ||x-y||

Donc 4$|Df(x)|\le \sqrt{n}K

C'est correct ?

Encore une fois, je bloque sur la fin

Merci à vous

Posté par
Cauchyre : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 19:25

Bonjour,

utilises l'inegalite des accroissements finis.

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 19:25

En fait, pour justifier ma première inégalité, je dis que comme f est continue, le théorème des accroissement finis appliqué à chaque coordonnée, permet de construire K telle que 4$||L(x)||\le K||x||

Avec L ...

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 19:29

Je suis vraiment trop ****

Merci Cauchy, ça saute aux yeux en plus !!

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 19:32

Voilà j'ai fini !

Le reste est correct au fait ?

Posté par
Cauchyre : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 21:14

Quand tu passes dans ta derniere inegalité à l'avant dernière ligne c'est pas plutot ||h||?

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 22:02

Exact merci !

Posté par
Cauchyre : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 22:06

Ca m'a fait bloqué 2mn ce truc je me disais mais d'ou il sort ca

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 10-12-06 à 22:08

Si t'es en forme, j'ai posté un autre message sur une preuve de ce cours

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 16:58

Salut

Qu'est-ce que la réponse devient si on a comme hypothèse :

4$\forall 1 \le i \le n et \fbox{4$\forall 1\le j \le m}, 4$|\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x)| \le K

Merci !

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:02

En fait ce qui me gêne c'est la précense de deux indices à la fois !

Posté par
Cauchyre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:08

Salut,

c'est quoi m?

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:14

Désolé !

Bon je reprends tout :

On considère 4$f de 4$U dans 4$R^m une fonction différentiable sur 4$U

Et on suppose que 4$\forall x \in U, \blue \fbox{4$\forall 1 \le i \le m} et \blue \fbox{4$\forall 1 \le i \le m} , \red \fbox{\fbox{4$|\frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x)| \le K}}

Bref, oubliez mon précédent message

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:16

Dans le cours on me dit qu'on obtient alors :

4$\red\fbox{\fbox{||f(x)-f(a)||_2 \le K \sqrt{nm}||x-a||_2}}

Mais je ne sais pas le démontrer.

Ca ressemble fortement au premier cas.

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:24

Salut à tous

Désolé, je m'incruste ! :D

En fait, ce n'est pas si compliqué que ça car \Large{||f(x)-f(a)||_{2}=\sqrt{\bigsum_{j=1}^{m}|f_{j}(x)-f_{j}(a)|^{2}}} et là on utilise la question précédente.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:26

Merci Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:27

Posté par
Cauchyre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:27

Salut kaiser,

U c'est un ouvert de R^n?

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:28

Cauchy> euh oui, il me semble.
Pourquoi cette question ?

Kaiser

Posté par
Cauchyre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:30

Pour savoir si c'etait encore le meme n

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:34

kaiser, sauf erreur, je crois qu'on peut en déduire que si la différentielle est nulle, alors la fonction considérée est constante

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:36

ou peut-être pas...

Bon c'est pas grave A+ et bonne soirée à tous

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:38

Bah en fait c'est le théorème des accroissements finis !

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:55

Si je suppose 4$\rm D_xG=0, 4$\rm \forall x \in U, on a donc 4$\rm G(x)-G(a)=||x||\epsilon(x)

Peut-on en déduire que 4$G est constante sur 4$U ?

On a donc 4$\rm ||G(x)-G(a)||=||x||\epsilon(x)

Aurais-tu juste une piste kaiser ? :D

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:56

Enfin si c'est on peut le montrer

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 17:56

Citation :
kaiser, sauf erreur, je crois qu'on peut en déduire que si la différentielle est nulle, alors la fonction considérée est constante


C'est possible (avec K=0) mais il faudrait être un peu plus précis (dans le TAF, on prend un sup sur un segment).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 18:04

En fait la relation de mon message de 17h55 ne sert pas à grand chose si ?

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 18:08

Disons que là, comme ça, je ne sais pas comment on pourrait conclure mais bon on ne sait jamais.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 18:09

Moi non plus

Bon c'est pas grave !

A+

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 21:41

kaiser si tu es là :

Comment dis-tu en français D_af(h) ?

la différentielle de f au point f appliqué en h ???

Merci

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 21:43

Pardon : la différentielle de f au point a appliqué au vecteur h ??

C'est bon ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 21:46

oui, ça me paraît correct.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 21:47

ok merci

Posté par
kaiser Moderateurre : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 21:49

Posté par
ottore : inégalité avec des dérivées partielles 02-01-07 à 21:56

Pour celà tu utilises encore le TAF (une version un peu modifiée) et c'est vrai en fait sur les ouverts connexes de R (donc en fait les ouverts connexes par arcs).

Tu peux avoir une fonction de différentielle nulle sur un ouvert mais non constante, attention donc...


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